Crecimiento exponencial

Comparación entre el crecimiento lineal (rojo), crecimiento potencial (azul) y crecimiento exponencial (verde)

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:

$M_{t}=M_{0}\cdot e^{rt}\,$

Donde:

M_t es valor de la magnitud en el instante t > 0;

M₀ es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;

r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;

e = 2,718281828459...

El nombre naturalmente se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma $y=a^{x}$ con $r=ln(a)$. Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo si x = 4, y es y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1024. Y así sucesivamente.

Fenómenos con crecimiento exponencial

1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
2. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
3. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
4. El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero.
5. El número de bacterias que se reproducen por mitosis.
6. El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador .

Ecuaciones diferenciales

El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:

(1)${\begin{cases}{\cfrac {dM}{dt}}=rM\\M(0)=M_{0}\end{cases}}$

Donde $M_{0}\;$ es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para t = 0). La solución esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es simplemente:

$M(t)=M_{0}e^{rt}\;$

Para t > 0 puede verse que $M(t)>M_{0}\;$ (siempre y cuando el crecimiento sea positivo r > 0).

Catástrofe malthusiana

La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegó a afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia mediados del siglo XIX. La gran hambruna predicha por Malthus jamás se produjo mostrando que los presupuestos lógicos de Malthus eran simplistas y en ocasiones hasta erróneos.

Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus era el siguiente. Si P(t) es la población en el año t y A(t) la cantidad total de alimentos las hipótesis de crecimiento lineal y exponencial son:

${\frac {dP(t)}{dt}}=rP(t)\qquad (1)$

${\frac {dA(t)}{dt}}=kA_{0}\qquad (2)$

Supongamos que la población inicial es P₀, A₀ la cantidad inicial de alimentos y que la cantidad mínima de alimentos por persona es a_min, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana t_CM:

$a(t)={\frac {A(t)}{P(t)}}={\frac {A_{0}(1+kt)}{P_{0}e^{rt}}}$

$a(t_{CM})=a_{min}\Rightarrow {\frac {1+kt_{CM}}{e^{rt_{CM}}}}\leq {\frac {a_{min}P_{0}}{A_{0}}}$

Puede verse que para cualesquiera valores positivos de r, k, A₀, P₀ y a_min existe un instante del tiempo dado por t_CM en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (1) y (2) no cambian en todo el proceso.

Curva logística

La curva logística es un refinamiento del crecimiento exponencial. Cuando una magnitud crece en un sistema finito, a partir de cierto punto el tamaño finito del sistema limita el crecimiento de la magnitud al no existir recursos abundantes suficientes para seguir permitiendo el crecimiento exponencial. Un caso típico son los ecosistemas biológicos donde ciertas especies basan su supervivencia en altas tasas de reproducción o natalidad(estrategia r). Inicialmente cuando existe un pequeño número de individuos el crecimiento es exponencial, pero a partir de cierto momento el hecho de que los recursos alimentarios del territorio no sean infinitos "satura" el crecimiento. En esos casos el crecimiento de la población P con el tiempo (t) responde a la siguiente ecuación diferencial:

${\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\qquad (3),\!$

donde la constante $r$ define la tasa de crecimiento y $K$ es la capacidad, que está asociada a la saturación del sistema. Cuando P es pequeña esta ecuación se parece a la ecuación (1) del crecimiento exponencial, pero para valores no despreciables frente al valor de K el comportamietno cambia. La solución general a la ecuación (3) es la función logística, usualmente llamada curva logística. La solución general de la ecuación, siendo $P_{0}$ la población inicial, viene dada por:

$P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}$

Donde: $\lim _{t\to \infty }P(t)=K.\,$

Estrategias K y r

La teoría de selección r/K hipotetiza que las fuerzas evolutivas operan en dos direcciones diferentes: r ó K en relación con la probabilidad de supervivencia de individuos de diferentes especies de plantas y animales. Estos términos algébricos se derivan de la ecuación diferencial de Verhulst de la dinámica de poblaciones biológicas.

${\frac {dN}{dt}}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)\qquad \!$

en donde:

r es la tasa de reproducción de la población

N es el tamaño de la población

K es la capacidad de carga del ambiente

De acuerdo con la teoría de selección r/K:

• Algunas especies siguen una estrategia r producen numerosos descendientes, cada uno de los cuales posee una probabilidad de supervivencia baja, y la especie es poco dependiente del futuro de un pequeño número de individuos.
• Otras especies con estrategia K invierten gran cantidad de recursos en unos pocos descendientes, cada uno de los cuales tiene una alta probabilidad de supervivencia​, esa estrategia puede resultar exitosa pero hace a la especie vulnerable respecto a la suerte de un pequeño número de individuos.

Las plantas anuales o perennes, con abundantes semillas, pequeñas, sin compuestos secundarios ni otras defensas contra la depredación son típicas de estrategia r, v. gr., pinos, robles, ceibas, pastos y yerbas en general; mientras que árboles con pocas semillas, grandes, ricas en nutrientes, cargadas de alcaloides o con defensas mecánicas (espinas, cortezas duras…), son típicas de estrategia K, v. gr., palma de coco, aguacate, zapote… En forma análoga, los invertebrados terrestres y acuáticos, muchas especies de peces, producen innumerables propágulos que se dispersan pasivamente, sufren altas tasas de depredación -estrategia r, vs. aves y mamíferos que invierten tiempo y energía en el cuidado de sus hijos, durante períodos prolongados, son el epítome de los estrategas K. Estos ejemplos subrayan el hecho de que r y K son extremos de un espectro de adaptaciones; de facto la mayoría de las especies tanto de plantas como de animales manifiestan estrategas intermedias.

Referencias

Bibliografía

Para un tratamiento muy ágil y sencillo de la aplicación del crecimiento exponencial a las poblaciones biológicas y sus implicaciones ecológicas y evolutivas ver:

• MacArthur, Robert H. (1972): Geographical Ecology: Patterns in the distribution of species. Harper and Row. New York, NY. 269 pp ISBN 0-691-08353-3. [Reeditado en rústica en 1984 por Princeton University Press ISBN 0691023823].

Véase también

• Modelo exponencial
• Función exponencial