Teorema del seno

Teorema del seno.

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Otra forma de expresarlo sería: En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces ${\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}={\frac {b}{\operatorname {sen} \,B}}={\frac {c}{\operatorname {sen} \,C}}$

Demostración

A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

$\operatorname {sen} \,A=\operatorname {sen} \,P={\frac {BC}{BP}}={\frac {a}{2R}}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

${\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}=2R$

Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.

La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:

Para un triángulo ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces: ${\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}={\frac {b}{\operatorname {sen} \,B}}={\frac {c}{\operatorname {sen} \,C}}=2R.$

Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:

En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.

$b=qa+c-2abcosb$== Aplicación == El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.

Relación con el área del triángulo

Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo

Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b, de modo que se cumple:

$Area={\frac {ah}{2}}={\frac {ab\,\operatorname {sen} \,C}{2}}$.

Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:

$Area={\frac {ah}{2}}={\frac {ab\,\operatorname {sen} \,C}{2}}={\frac {abc}{4R}}$.

Véase también

• Trigonometría

• • Función trigonométrica

• • • Trigonometría esférica
      • Triangulación
• Geometría del triángulo
  • Teorema del coseno