Aceleración

La aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el ritmo o tasa con que aumenta o disminuye la velocidad de un móvil en función del tiempo. Sus dimensiones son longitud/tiempo² y como unidades, según el sistema internacional, se utiliza el m/s².

Un objeto no puede seguir una trayectoria curva a menos que esté sufriendo una cierta aceleración, ya que si ésta no existiese su movimiento sería rectilíneo. Asimismo, el que un objeto incremente o disminuya su velocidad implica necesariamente la presencia de una aceleración (positiva si acelera, negativa si desacelera).

No debe confundirse la aceleración con la velocidad, puesto que, aunque son conceptos estrechamente relacionados, son distintos: Mientras la velocidad indica la variación de la posición de un cuerpo respecto al tiempo, la aceleración nos muestra la variación de dicha velocidad. Además, no han de compartir forzosamente ni dirección ni sentido.

Algunos ejemplos del concepto de aceleración serían:

• La llamada aceleración de la gravedad de la tierra, la aceleración de la fuerza del campo gravitatorio cuyo valor en la superficie de la Tierra es, aproximadamente, de 9,8 m/s². Esto quiere decir que si se dejara caer libremente un objeto, aumentaría su velocidad de caída, aproximadamente, 9,8 m/s por cada segundo que pasara siempre que omitamos la resistencia aerodinámica del aíre. El objeto caería, por tanto, cada vez más rápido, respondiendo dicha velocidad a la ecuación v = a·t = g·t = 9,8·t.
• O una maniobra de frenada de un vehículo, que se correspondería con una aceleración de signo negativo, o desaceleración, al oponerse a la velocidad que ya tenía el vehículo. Si el vehículo adquiriera más velocidad, a dicho efecto se le llamaría aceleración y, en este caso, sería de signo positivo.

Aceleración media e instantánea

Aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente de la curva de representación velocidad-tiempo.

Se define la aceleración media como la relación entre la variación de velocidad ($\Delta v$) de un objeto en un tiempo dado ($\Delta t$).

$a={\frac {v-v_{0}}{t-t_{0}}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Donde a es aceleración, v la velocidad final en el instante t y $v_{0}$ la velocidad inicial en el instante t₀.

La aceleración instantánea es el cambio en la velocidad de un objeto que se produce en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, es decir la derivada de la velocidad (instantánea) respecto al tiempo en un instante dado:

$\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector de posición r respecto al tiempo, se tiene que la aceleración vectorial es la derivada segunda respecto de la variable temporal:

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

De igual forma se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como:

$v=\int _{0}^{t}\left({\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}\right)\,\mathrm {d} t$

O incluso también, la velocidad puede entenderse como la integral de la aceleración respecto el tiempo, es de notar que la integración puede ser definida o indefinida:

$v=\int _{0}^{t}a\,\mathrm {d} t$

Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal

Existe una descomposición geométrica útil del vector de aceleración de una partícula, en dos componentes perpendiculares: la aceleración tangencial y la aceleración normal. Una forma no técnica y sencilla de entender esta descomposición es realizar una analogía con un coche que recorre una carretera con curvas: la aceleración tangencial depende de lo que el conductor pise el acelerador o el freno. La aceleración normal depende de lo que el conductor gire el volante. Así pues, la aceleración tangencial es la que incrementa o disminuye la velocidad del coche y la aceleración normal es la responsable de que el coche gire. La primera da cuenta de cuanto varía el módulo del vector velocidad o celeridad. La aceleración normal por el contrario da cuenta de la tasa de cambio de la dirección velocidad:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(\left\Vert \mathbf {v} \right\|\mathbf {\hat {e}} _{t})={\frac {d\left\Vert \mathbf {v} \right\|}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+\left\Vert \mathbf {v} \right\|{\frac {d\mathbf {\hat {e}} _{t}}{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+\left\Vert \mathbf {v} \right\|({\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {e}}_{t})$

Donde $\mathbf {\hat {e}} _{t}$ es el vector unitario y tangente a la trayectoria del mismo sentido que la velocidad. Usando las fórmulas de geometría diferencial de curvas se llega a que la expresión anterior es igual a:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {\left\Vert \mathbf {v} \right\|^{2}}{\rho }}\mathbf {\hat {e}} _{n}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+a_{n}\mathbf {\hat {e}} _{n}$

Donde a_t es la aceleración tangencial, a_n es la aceleración normal y los vectores que aparecen en la anterior expresión se relacionan con los vectores del triedro de Frênet que aparece en la geometría diferencial de curvas del siguiente modo:

$\mathbf {\hat {e}} _{t}$ es el vector unitario tangente a la curva.

$\mathbf {\hat {e}} _{n}$ es el vector normal (unitario) de la curva.

${\boldsymbol {\omega }}$ es el vector velocidad angular que es siempre paralelo al vector binormal de la curva.

Movimiento Circular uniforme

Un movimiento circular uniforme es aquél en el que la partícula recorre una trayectoria circular de radio R con celeridad constante, es decir, que la distancia recorrida en cada intervalo de tiempo igual es la misma. Para ese tipo de movimiento el vector de velocidad mantiene su módulo y va variando la dirección siguiendo una trayectoria circular. Si se aplican las fórmulas anteriores, se tiene que la aceleración tangencial es nula y la aceleración normal es constante: a esta aceleración normal se la llama "aceleración centrípeta". En este tipo de movimiento la aceleración se invierte en modificar la trayectoria del objeto y no en modificar su velocidad.

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d\left\Vert \mathbf {v} \right\|}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {\left\Vert \mathbf {v} \right\|^{2}}{R}}\mathbf {\hat {e}} _{n}=0\cdot \mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {v^{2}}{R}}{\hat {\mathbf {e} }}_{n}=-\omega ^{2}\mathbf {R}$

Movimiento rectilíneo acelerado

En mecánica el movimiento partiendo del reposo bajo una fuerza constante se conoce como movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Ya que de acuerdo con la mecánica clásica la trayectoria de una partícula bajo una fuerza constante es rectilínea y con aceleración uniforme en toda la trayectoria. Si se aplican las fórmulas anteriores se tiene que en este movimiento sólo existe aceleración tangencial:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d\left\Vert \mathbf {v} \right\|}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {\left\Vert \mathbf {v} \right\|^{2}}{R}}\mathbf {\hat {e}} _{n}=a\cdot \mathbf {\hat {e}} _{t}+0\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{n}=\mathbf {a} _{t}$

Medición de la aceleración

La medida de la aceleración puede hacerse con un sistema de adquisición de datos y un simple acelerómetro. Los acelerómetros electrónicos son fabricados para medir la aceleración en una, dos o tres direcciones. Cuentan con dos elementos conductivos, separados por un material que varia su conductividad en función de las medidas, que a su vez serán relativas a la aceleración del conjunto.

Unidades

Las unidades de la aceleración son: longitud/tiempo² en unidades del sistema internacional se usa m/s². En el caso de la aceleración gravitacional se suele representar mediante una g en vez de una a, siendo g_n o g₀ la aceleración estándar de caída libre de los cuerpos en la Tierra, cuyo valor es 9,80665 m/s², causada por el campo gravitatorio de nuestro planeta al nivel del mar a una latitud de 45,5°.

Referencias

Bibliografía

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed. edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed. edición). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0809-4. 

Véase también

• Cinemática
• Velocidad
• Derivada

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre aceleración.
• Chile Científico: Análisis del Movimiento Circular

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