Diferencia entre revisiones de «División euclídea»

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Revisión del 01:22 28 ago 2009

En la aritmética el algoritmo de la división, también para cualesquiera enteros y , con no nulo, existen enteros únicos y , llamados cociente y residuo respectivamente, tales que

y .

El algoritmo de la división es comunmente representado con una figura similar a

Por ejemplo

lo que significa que , y además es claro que .

Por el algoritmo de la división se deduce que es un dominio euclídeo tomando como norma el valor absoluto. Una consecuencia inmediata del algoritmo de la división es que puede usarse el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números enteros.

Un concepto que generaliza el algoritmo de la división es el de norma euclídea. De este modo cualquier dominio euclídeo cumple con un principio similar al algoritmo de la división, como es el caso, por ejemplo, de un anillo de polinomios en que es un cuerpo.


Ejemplos

otros

Demostración

Considérese el conjunto y de residuos mayores o iguales a cero. Este conjunto es no vacío, pues siempre es posible hacer cuando para una buena elección de . Vemos pues que , de modo que tiene un mínimo, digamos . Supóngase que para cierto entero . Tenemos que, al ser no nulo,


(1)


Si fuera , se tendría , y como , sería , o sea


o ,


pero entonces , lo que, en vista de (1), contradice nuestra elección de como el menor residuo en . Ha de ser pues , como afirma el algoritmo de la división.


Para probar la unicidad supóngase que . Defínase si y si . De manera similar se define . Sin perdida de generalidad, puede suponerse que . De todo esto tenemos


,


esto es, , una contradicción, de modo que debe ser , luego , y como consecuencia . Esto completa la prueba del algoritmo de la división.

Véase también