Potenciación

La potenciación es una operación matemática, que se nota como aⁿ, y que se lee "a elevado a n", que involucra dos números: la base a y el exponente n. Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

• Cuando el exponente es un número natural, la potenciación corresponde a una multiplicación de varios factores iguales: el exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo: $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$. En general:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n},$

• cuando el exponente es un entero negativo -p, una potencia que tenga exponente negativo es el resultado de elevar la fracción inversa de la base 1/a al exponente positivo p.

$a^{-p}={\frac {1}{a^{p}}}$

• cuando el exponente es una fracción irreducible m/n, se define

$a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}$

La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Como caso especial, destacar que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 0⁰, en principio, no está definido (ver en Cero). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

$x^{1}=x$

$x^{a}=x\cdot x^{a-1}$

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x⁰. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x⁰=1.

Así, toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1

pero recuerden que a debe pertenecer por obligacion a los reales

$a^{0}=1\,$ si se cumple que $a\neq 0$

$0^{0}$ es una indeterminación. Que puede relacionarse con la indeterminación ${\frac {0}{0}}$ dado que

$0^{0}=0^{-1}\times 0^{1}={\frac {0}{0}}$

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

$a^{1}=a\,$

ejemplo:

$54^{1}=54\,$

Producto de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los exponentes.

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

ejemplos:

$9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}$

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

Potencia de un producto

La potencia de un producto de base (a·b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente.

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. así se obtiene esta potencia

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

${\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

$(a+b)^{m}\neq a^{m}+b^{m}$

$(a-b)^{m}\neq a^{m}-b^{m}$

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general, $a^{b}\neq b^{a}$

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}.$

Potencia de base 10

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la base, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales $a,b,c,d\,$ se tiene la identidad:

$\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left(c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}$

Gráfico

gráfico de $Y=X^{2}$

El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones

Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los reales.

gráfico de $Y=X^{3}$

Por otra parte, el gráfico de una potencia impar puede describirse como una parábola de la cual una mitad crece en una dirección y la otra crece en la dirección opuesta. Su extremo es también el (0, 0), pero crece en ambos sentidos del infinito, en el primer y tercer cuadrante.

Véase también

• Radicación
• Exponenciación

Enlaces externos

• Potenciación en Excel
• Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español