Diferencia entre revisiones de «Teorema del seno»
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Dado el triángulo ''ABC'', denotamos por ''O'' su [[circuncentro]] y dibujamos su [[circunferencia]] circunscrita. Prolongando el segmento ''BO'' hasta cortar la [[circunferencia]], se obtiene un [[diámetro]] ''BP''. |
Dado el triángulo ''ABC'', denotamos por ''O'' su [[circuncentro]] y dibujamos su [[circunferencia]] circunscrita. Prolongando el segmento ''BO'' hasta cortar la [[circunferencia]], se obtiene un [[diámetro]] ''BP''. |
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Ahora, el triángulo ''PBC'' es recto, puesto que ''BP'' es un diámetro, y además los ángulos ''A'' y ''P'' son iguales, porque ambos son [[ángulo inscrito|ángulos inscritos]] que abren el segmento ''BC'' (Véase definición de [[arco capaz]]). Por definición de la función trigonométrica [[seno (matemáticas)|seno]], se tiene |
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{{Ecuación|<math>\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}</math>|3=left}} |
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donde ''R'' es el radio de la [[circunferencia]]. Despejando ''2R'' obtenemos: |
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Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por ''A'' y otro que pase por ''C'', se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor ''2R'' y por tanto son iguales. |
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Ahora, el triángulo ''PBC'' es recto, puesto que ''BP'' es un diámetro, y además los ángulos ''A'' y ''P'' son iguales, porque ambos son [[ángulo inscrito|ángulos inscritos]] que abren el segmento ''BC'' (Véase definición de [[arco capaz]]). Por definición de la función trigonométrica [[seno (matemáticas)|seno]], se tiene |
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{{Ecuación|<math>\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}</math>|3=left}} |
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donde ''R'' es el radio de la [[circunferencia]]. Despejando ''2R'' obtenemos: |
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Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por ''A'' y otro que pase por ''C'', se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor ''2R'' y por tanto son iguales. |
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La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece: |
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Revisión del 18:08 4 jun 2009
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.
Otra forma de expresarlo sería: En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es constante.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
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Demostración
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida (aunque muy elegante).
Dado el triángulo ABC, denotamos por O su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y establece:
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Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
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== Aplicación == El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados.
Relación con el área del triángulo
Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b, de modo que se cumple:
- .
Sin embargo, el teorema de los senos implica que c = 2R sen C, por lo que al substituir en la expresión anterior se obtiene un nuevo teorema:
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