Factorización

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).

La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un polinomio

Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

• Binomios

1. Diferencia de cuadrados
2. Suma o diferencia de cubos
3. Suma o diferencia de potencias impares iguales

• Trinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c

• Polinomios

1. Factor común

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

Factor común monomio

Factor común por agrupacion de términos

$ab+ac+ad=a(b+c+d)\,$

$ax+bx+ay+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)\,$

Factor común polinomio

Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aqui que el factor comun no solo cuenta con un término, sino con dos.

veamos un ejemplo: 5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)

Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)

Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)

En algunos casos debemos utilizar el número 1, por ejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b Que se puede utilizar como: 5a2(3a +b) +1(3a +b)

Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

$ab+ac+bd+dc=(ab+ac)+(bd+dc)\,$

$=a(b+c)+d(b+c)\,$

$=(a+d)(b+c)\,$

Un ejemplo numerico puede ser:

2y + 2j +3xy + 3xj =

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

(2y+2j)+(3xy+3xj)

Aplicamos el primer caso (Factor común)

2(y+j)+3x(y+j)

=(2+3x)(y+j)

Caso III - Trinomio cuadrado perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

$(5x-3y)^{2}=25x^{2}-30xy+9y^{2}\,$

Ejemplo 2:

$(3x+2y)^{2}=9x^{2}+12xy+4y^{2}\,$

Ejemplo 3:

$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

Ejemplo 4:

$4x^{2}+25y^{2}-20xy\,$

Organizando los términos tenemos

$4x^{2}-20xy+25y^{2}\,$

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

$(2x-5y)^{2}\,$

Caso IV - Diferencia de cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b)), uno negativo y otro positivo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:

$(9y^{2}-4x^{2})=({\sqrt {9y^{2}}}+{\sqrt {4x^{2}}})({\sqrt {9y^{2}}}-{\sqrt {4x^{2}}})=(3y+2x)(3y-2x)\,$

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie. Para solucionarlo, se usan como ayuda los casos número III y IV. para moldar debe saber el coseno de la raíz de la suma de dos polinomios x que multiplicado salga igual a la raíz de 2,

xª+2xy+yª-1=(x+y)ª-1=(x+y+1)(x+y-1)

Caso VI - Trinomio de la forma X² + bX + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio. Ejemplo:

$a^{2}+2a-15=(a-3)(a+5)\,$

Ejemplo 2: x²+5x+6=0
la factorización queda como:
(x+3)(x+2)=0
ya que 3x2=6 y 3+2=5

Caso VII Suma o diferencia de potencias a la n

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar):

Quedando de la siguiente manera: xⁿ + yⁿ =(x+y)(x^n-1-x^n-2y+x^n-3y²-...+xy^n-2+y^n-1)

Ejemplo: x³ + 1=(x+1)(x²-x+1)

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Que dando de la siguiente manera:

xⁿ - yⁿ =(x-y)(x^n-1+x^n-2y+x^n-3y²+...+xy^n-2+y^n-1)

Ejemplo:

x³ - 1=(x-1)(x²+x+1)

a² - b² = (a-b)(a+b)

como podrán notar las famosas diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Caso VIII Trinomio de la forma ax²+bx+c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término es un cuadrado perfecto, osea que tiene raíz cuadrada exacta, el segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, osea sin una parte literal, asi´:

$4x^{2}+15x+9\,$

Para factorizar una expresion de esta forma; primero se extraen los factores de los dos términos de los extremos, despues de extraidos se multiplican cruzandolos entre si, osea el primer factor del término de la derecha y el segundo factor del término de la izquierda y lo mismo con los otros dos, así:

Los factores de 4x² son:4x y x, y los de 9 son:3 y 3. Por lo tanto se multiplica 4x por 3 y x por 3, luego se suman los productos y el total debe ser el término de en medio, en este caso 15x, veamos:

$4x(3)+x(3)=12x+3x=15x\,$

Luego encerramos en dos paréntesis los dos primeros factores y los dos últimos (en línea recta), y ese será el resultado de la descomposicion factorial, así:

$4x^{2}+15x+9=(4x+3)(x+3)\,$

Enlaces externos

• Factorización de polinomios, en platea.pntic.mec.es
• Videos de Factorización, explicados por el profesor Moises Grillo