Producto notable

Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Factor común

Representación gráfica de la regla de factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

$c(a+b)=ca+cb\,$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es

$c(a+b)\,$ (el producto de la base por la altura),

que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo

$3x(4x+6y)=12x^{2}+18xy\,$

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$

un trinomio de la forma: $a^{2}+2ab+b^{2}\;$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.

Ejemplo

$(2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}\,$

simplificando:

$(2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,$

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.

$(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,$

Ejemplo

$(3x+4)(3x-7)=(3x)(3x)+(3x)(-7)+(3x)(4)+(4)(-7)\,$

agrupando términos:

$(3x+4)(3x-7)=9x^{2}-21x+12x-28\,$

luego:

$(3x+4)(3x-7)=9x^{2}-9x-28\,$

Producto de dos binomios conjugados

Producto de binomios conjugados

Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,$

Ejemplo

$(3x+5y)(3x-5y)=\,$

$(3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)\,$

agrupando términos:

$(3x+5y)(3x-5y)=9x^{2}-25y^{2}\,$

Polinomio al cuadrado

Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\,$

$(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\,$

Ejemplo

$(3x+2y-5z)^{2}=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)\,$

multiplicando los monomios:

$(3x+2y-5z)^{2}=3x\cdot 3x+3x\cdot 2y+3x\cdot (-5z)\,$

$+2y\cdot 3x+2y\cdot 2y+2y\cdot (-5z)\,$

$+(-5z)\cdot 3x+(-5z)\cdot 2y+(-5z)\cdot (-5z)\,$

agrupando términos:

$(3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+2(6xy-15xz-10yz)\,$

luego:

$(3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+12xy-30xz-20yz\,$

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$

Ejemplo

$(x+2y)^{3}=x^{3}+3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}+(2y)^{3}\,$

agrupando términos:

$(x+2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}\,$

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$

Ejemplo

$(x+2y)^{3}=x^{3}-3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}-(2y)^{3}\,$

agrupando términos:

$(x+2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}\,$

Identidad de Argand

$(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1\,$

Identidades de Gauss

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\,$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}]\,$

Identidades de Legendre

$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\,$

$(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\,$

$(a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2})\,$

Identidades de Lagrange

$(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}\,$

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}\,$

Otras identidades

Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:

Suma de cubos

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$

Resta de cubos

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).

$(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}\,$

$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}\,$

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:

Suma de potencias n-ésimas

$a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots +b^{n-1})\,$

aunque la fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar.

Diferencia de potencias n-ésimas

$a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})\,$

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio.

Referencias

• Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co., ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston, USA. p. 456. ISBN. 

Véase también

• Binomio
• Trinomio
• Factorización
• Triángulo de Pascal