Anexo:Identidades trigonométricas

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo θ pueden ser construidas geométricamente en términos de un círculo unidad centrado en  O.

Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.

En matemáticas, las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

Notación: se define cos², sen², etc; tales que sen²α es (sen (α))².

Relaciones básicas

Relación pitagórica	$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$
Identidad de la razón	$\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si sin θ = 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que $\scriptstyle \cos \theta \,=\,{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {3}}/2$, aunque es posible que $\scriptstyle \cos \theta \,=\,-{\sqrt {3}}/2$. Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

Función	sin	cos	tan	csc	sec	cot
sin	$\sin \theta \$	${\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	${\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	${\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
cos	${\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta \$	${\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	${\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
tan	${\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta \$	${\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
csc	${1 \over \sin \theta }$	${1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }$	$\csc \theta \$	${\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
sec	${1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${1 \over \cos \theta }$	${\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	${\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\sec \theta \$	${{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }$
cot	${{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }$	${\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${1 \over \tan \theta }$	${\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	${1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\cot \theta \$

De las definiciones de las funciones trigonométricas

$\tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\qquad \cot {x}={\frac {1}{\tan {x}}}={\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}$

$\sec {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \csc {x}={\frac {1}{\sin {x}}}$

Son más difíciles de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (tiene radio=1):

$\sin(x)=\sin(x+2\pi )\qquad \cos(x)=\cos(x+2\pi )\qquad \tan(x)=\tan(x+\pi )$

$\sin(-x)=-\sin(x)\qquad \cos(-x)=\cos(x)$

$\tan(-x)=-\tan(x)\qquad \cot(-x)=-\cot(x)$

$\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

$a\sin(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin \left(x+\arctan {\frac {b}{a}}\right)$

$\sin ^{2}\left(x\right)+\cos ^{2}\left(x\right)=1$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

$\tan ^{2}\left(x\right)+1=\sec ^{2}\left(x\right)$

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

$\cot ^{2}\left(x\right)+1=\csc ^{2}\left(x\right)$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

$\sin(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\qquad \sin(x)={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{-2}(x)}}}$

$\sin(x)={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(x)}}}\qquad \sin(x)={\frac {1}{\sec {x}}}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}$

y análogamente con las restantes funciones .

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

$\sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)$

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)$

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

$\sin(\pi \pm x)=\mp \sin(x)$

$\cos(\pi \pm x)=-\cos(x)$

$\tan(\pi \pm x)=\pm \tan(x)$

$\csc(\pi \pm x)=\mp \csc(x)$

Para ángulos complementarios:

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cos(x)$

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sin(x)$

$\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cot(x)$

$\csc \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sec(x)$

$\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\csc(x)$

$\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\tan(x)$

Para ángulos opuestos:

$\sin \left(-x\right)=-\sin \left(x\right)$

$\cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)$

$\tan \left(-x\right)=-\tan \left(x\right)$

$\csc \left(-x\right)=-\csc \left(x\right)$

$\sec \left(-x\right)=\sec \left(x\right)$

$\cot \left(-x\right)=-\cot \left(x\right)$

Identidades del ángulo múltiple

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

$\operatorname {cos} (nx)=T_{n}(\cos(x)).$

Fórmula de De Moivre:

$\operatorname {cos} (nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}$

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $\sin(x+x)=\sin(2x)$) en las identidades anteriores, y usando Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando $n=2$.

Fórmula del ángulo doble
${\begin{aligned}\sin 2\theta &=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\,$	$\cot 2\theta ={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\,$
Fórmula el ángulo triple
$\sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,$	$\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,$	$\tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$
Fórmula del ángulo medio
$\sin {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}$	$\cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}$	${\begin{aligned}\tan {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$	$\cot {\tfrac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta$

Producto infinito de Euler

$\cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }.$

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno	$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}$	$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}$
Coseno	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}$
Otros	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {\sin ^{3}2\theta }{8}}$

Identidades del medio ángulo

Reemplazando x/2 por x en las anteriores, es posible resolver cos(x/2) y sin(x/2).

$\left|\cos \left({\frac {x}{2}}\right)\right|={\sqrt {\left({\frac {1+\cos(x)}{2}}\right)}}$

$\left|\sin \left({\frac {x}{2}}\right)\right|={\sqrt {\left({\frac {1-\cos(x)}{2}}\right)}}$

Multiplicando tan(x/2) por 2cos(x/2) / ( 2cos(x/2)) y reemplazando sin(x/2) / cos(x/2) por tan(x/2). El numerador es entonces sin(x) por la identidad del ángulo doble, y el denominador es 2cos²(x/2) - 1 + 1 que es cos(x) + 1 por la identidad del ángulo doble. La segunda identidad se obtiene multiplicando la primera por sin(x) / sin(x) y simplificando mediante la identidad pitagórica.

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)+1}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}$

Paso de Producto a Suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

$\cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}$

$\sin(x)\sin(y)={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}$

$\sin(x)\cos(y)={\sin(x+y)+\sin(x-y) \over 2}$

$\cos(x)\sin(y)={\sin(x+y)-\sin(x-y) \over 2}$

¿De dónde se origina $\cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}$ ?

Esta explicación muestra cómo obtener la fórmula anterior paso por paso (en otras palabras, es una demostración).

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

$\cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)$

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1): $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$
2): $\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3): $\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\sin(x)\sin(y)$

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

$\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)+\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\sin(x)\sin(y)+\cos(x-y)$

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

$2\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\cos(x-y)$

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

$\cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}$

Nota: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Paso de Suma a Producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e y por (a – b) / 2 en las identidades de Producto a suma, se tiene:

$\sin(a)+\sin(b)=2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

$\cos(a)+\cos(b)=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

$\cos(a)-\cos(b)=-2\sin \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

$\sin(a)-\sin(b)=2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\sin \left({\frac {a-b}{2}}\right)$

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$\sin {\left(x\right)}={\frac {\tan {\left(x\right)}}{\sqrt {1+\tan ^{2}{\left(x\right)}}}}$

$\sin {\left(x\right)}={2}\sin {\left({\frac {1}{2}}x\right)}\cos {\left({\frac {1}{2}}x\right)}={\frac {2\tan {\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}$

$\cos {\left(x\right)}={\frac {1-\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\tan ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}$

Funciones trigonométricas inversas

$\arctan(x)+\arctan(x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{si }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right..$

$\arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)$

Composición de funciones trigonométricas

$\operatorname {sin} ^{2}(\arccos(x))=1-x^{2}$ $\sin ^{2}(\arctan(x))={\frac {x^{2}}{1+x^{2}}}$ $\tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ $\tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$	$\cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$ $\cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,$ $\operatorname {cos} ^{2}(\arcsin(x))=1-x^{2}$ $\cos ^{2}(\arctan(x))={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Fórmula de productos infinitos

Seno	Coseno
$\sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$ $\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$ ${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)$	$\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$ $\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

Fórmula de Euler

$e^{ix}=\operatorname {cos{\left(x\right)}} +i\operatorname {sen{\left(x\right)}}$

$e^{-ix}=\operatorname {cos{\left(x\right)}} -i\operatorname {sen{\left(x\right)}}$

Teorema del coseno

En todo triángulo «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos»

Para ángulos agudos(menores de 90º):

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \operatorname {cos} A$

Para ángulos rectos(iguales a 90º):

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

Mejor conocido como Teorema de Pitágoras

Para ángulos obtusos(mayores a 90º):

$a^{2}=b^{2}+c^{2}+2bc\cdot \operatorname {cos} A$

Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

${\frac {a}{\sin(A)}}={\frac {b}{\sin(B)}}={\frac {c}{\sin(C)}}$

Definiciones exponenciales

Función	Función inversa
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,$	$\arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,$	$\arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,$
$\tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,$	$\arctan x={\frac {i\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)}{2}}\,$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,$
$\cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i\ln \left({\frac {i-x}{i+x}}\right)}{2}}\,$
$\operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,$	$\operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,$

Véase también

• Trigonometría
• Función trigonométrica
• Seno, coseno, tangente

Enlaces externos

• Prueba visual del seno de la suma. Prueba visual del teorema del seno.
• Trigonometría Fácil: El Hexágono Trigonométrico.