Diferencia entre revisiones de «Función multiplicativa»
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En [[teoría de números]], una [[función aritmética]] f(''n'') (es decir, definida para ''n'' [[número entero|entero]]) se llama '''multiplicativa''' si ''f''(1) = 1 y además cumple que ''f''(''m''·''n'') = ''f''(''m'')·''f''(''n'') cuando ''m'' y ''n'' son números enteros [[coprimo]]s (no tienen factores comunes). De esta manera, una función multiplicativa queda determinada si se conoce el valor que toma para las potencias de [[número primo|números primos]]. |
En [[teoría de números]], una [[función aritmética]] f(''n'') (es decir, definida para ''n'' [[número entero|entero]]) se llama '''multiplicativa''' si ''f''(1) = 1 y además cumple que ''f''(''m''·''n'') = ''f''(''m'')·''f''(''n'') cuando ''m'' y ''n'' son números enteros [[coprimo]]s (no tienen factores comunes). De esta manera, una función multiplicativa queda determinada si se conoce el valor que toma para las potencias de [[número primo|números primos]]. |
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La función <math> \phi</math> de Euler se llama '''función multiplicativa''', puesto que <math>(c,d) = 1 \longrightarrow \phi(c,d) = \phi(c)\cdot \phi(cd) </math>. Existen varias funciones en la teoría de los números que poseen esta propiedad. <ref>Burton W. Jones ''Teoría de los números'' Editorial F. Trillas, S.A. Ciudad de México 1969</ref> |
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Entre las funciones multiplicativas están las funciones '''completamente multiplicativas''' que son las que también cumplen que ''f''(''m''·''n'') = ''f''(''m'')·''f''(''n'') cuando ''m'' y ''n'' no son coprimos entre sí. |
Entre las funciones multiplicativas están las funciones '''completamente multiplicativas''' que son las que también cumplen que ''f''(''m''·''n'') = ''f''(''m'')·''f''(''n'') cuando ''m'' y ''n'' no son coprimos entre sí. |
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* Si representamos por r<sub>2</sub>(''n'') a la [[función suma de cuadrados]], que cuenta la cantidad de distintas parejas de enteros ''(a,b)'' tales que ''n''=''a''²+''b''², entonces la función r<sub>2</sub>(''n'')/4 es una función multiplicativa. |
* Si representamos por r<sub>2</sub>(''n'') a la [[función suma de cuadrados]], que cuenta la cantidad de distintas parejas de enteros ''(a,b)'' tales que ''n''=''a''²+''b''², entonces la función r<sub>2</sub>(''n'')/4 es una función multiplicativa. |
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* Es multiplicativa la función que se obtiene como [[producto de Dirichlet]] de dos funciones multiplicativas. |
* Es multiplicativa la función que se obtiene como [[producto de Dirichlet]] de dos funciones multiplicativas. |
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==Proposiciones== |
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; Primera |
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si <math> f(n)</math>es una función multiplicativa y |
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{{ecuacion| <math> |
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F(n) = |
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\sum_{d|n} f(d), |
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</math>}} entonces <math> F(n)</math> es una función multiplicativa.<ref>Jones, obra citada</ref> |
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;Segunda |
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{{ecuacion| <math> |
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\sum_{d|n} \phi(d) = n |
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</math>}}, donde <math>\phi(k)</math> es la función <math> \phi</math> de Euler. |
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==Referencias== |
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== Véase también == |
== Véase también == |
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Revisión del 09:20 3 nov 2017
En teoría de números, una función aritmética f(n) (es decir, definida para n entero) se llama multiplicativa si f(1) = 1 y además cumple que f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n son números enteros coprimos (no tienen factores comunes). De esta manera, una función multiplicativa queda determinada si se conoce el valor que toma para las potencias de números primos.
Entre las funciones multiplicativas están las funciones completamente multiplicativas que son las que también cumplen que f(m·n) = f(m)·f(n) cuando m y n no son coprimos entre sí.
Utilizando las funciones multiplicativas como coeficientes de desarrollo de series de Dirichlet se obtienen funciones complejas, cuyo estudio aporta información relevante acerca de la distribución de los números. Un ejemplo de ello son las relaciones de las funciones aritméticas más clásicas con la función zeta de Riemann.
Ejemplos
Algunos ejemplos de funciones multiplicativas que son relevantes en la teoría de números son:
- φ(n): la función φ de Euler, que cuenta los enteros positivos coprimos con n.
- μ(n): la función de Möbius, relacionada con el número de factores primos de los números no divisibles por un cuadrado perfecto.
- d(n): el número de divisores positivos de n.
- σ(n): la suma de todos los divisores positivos de n.
- La función que calcula suma de todas las potencias de orden k de los divisores positivos de n (la función σ es el caso con k=1 y la función d el caso con k=0).
- Si representamos por r2(n) a la función suma de cuadrados, que cuenta la cantidad de distintas parejas de enteros (a,b) tales que n=a²+b², entonces la función r2(n)/4 es una función multiplicativa.
- Es multiplicativa la función que se obtiene como producto de Dirichlet de dos funciones multiplicativas.
Véase también
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Multiplicative function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Multiplicative function en PlanetMath.