Conjunto vacío

El conjunto vacío es aquél que no tiene elementos.

En matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el único conjunto que no contiene elementos. En la axiomática de Teoría de conjuntos se postula el axioma del conjunto vacío. Algunas propiedades de los conjuntos son trivialmente ciertas para el conjunto vacío.

Notación

El conjunto vacío es denotado por cualquiera de estos símbolos:

$\varnothing \,{\acute {o}}\;\emptyset \,$

derivada de la letra Ø (introducida especialmente por André Weil) en 1939.

Otra notación común para el conjunto vacío es:

$\{\}\,$

o con la igualdad:

$\varnothing =\{\}\,$

Propiedades

(Aquí usaremos símbolos usados en matemáticas.)

• Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:

$\forall A:\;\varnothing \subseteq A$

• Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:

$\forall A:\;A\cup \varnothing =A$

• Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta el conjunto vacío:

$\forall A:\;A\cap \varnothing =\varnothing$

• Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

$\forall A:\;A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing$

• El único subconjunto del conjunto vacío es él mismo, el conjunto vacío:

$\forall A:\;A\subseteq \varnothing \;\Rightarrow \;A=\varnothing$

• El número de elementos del conjunto vacío (es decir, su número cardinal) es cero; en particular, el conjunto vacío es un conjunto finito:

$|\varnothing |=0$

que se puede expresar:

${Card}(\varnothing )=0$

• Para cualquier propiedad se tiene:
  • para todo elemento del $\varnothing$ la propiedad es cierta (por vacuidad)
  • no hay elementos en el $\varnothing$ para los cuales la propiedad sea cierta
• Entonces: si, para alguna propiedad, las dos proposiciones siguientes son ciertas:
  • para todo elemento de V la propiedad es cierta
  • y no hay elementos en V que cumplan la propiedad

por lo tanto $V=\varnothing$

Los matemáticos generalmente hablan de 'el conjunto vacío' y no de 'un' conjunto vacío, pues en Teoría de conjuntos, dos conjuntos son iguales si y sólo si uno es subconjunto del otro y viceversa, i.e. tienen los mismos elementos. En conclusión, sólo hay un conjunto vacío.

Problemas comunes

El conjunto vacío, a pesar de contener nada, sigue siendo algo en sí mismo: un conjunto. Esta distinción es importante si situamos a los conjuntos en un contexto. Por ejemplo, si imaginamos a los conjuntos como bolsas, capaces de contener distintos elementos, el conjunto vacío sería aquella bolsa sin elementos dentro; pero aun así seguiría siendo una bolsa.

Es por esto que el conjunto potencia siempre contiene al conjunto vacío.

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, por lo tanto, el conjunto vacío es vacío en el sentido de su cardinalidad (que es igual a 0), y no en el sentido de su identidad.

Referencias

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Conjunto
• Conjunto universal
• Intersección de conjuntos
• Unión de conjuntos
• Diferencia de conjuntos
• Complemento de un conjunto