Espacio vectorial generado

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Espacio vectorial generado, alcance lineal (linear span), lineal hull o cápsula lineal es el subespacio vectorial más pequeño posible que contiene a un cierto conjunto dado de antemano.

Por ejemplo dado un único vector, su espacio lineal generado es una recta cuya dirección viene dada por dicho vector. Dados tres puntos no colineales, estos generan un plano que puede ponerse en correspondencia uno a uno con el espacio euclídeo \R^2

Definición[editar]

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo \mathbb{K}, y sea S \subset V un subconjunto de V. Se define W \subset V como el conjunto generado por S como:

W = \{ \sum_{v \in S} a_{v} v \ | \ a_{v} \in \mathbb{K}\} \,

Sigue por definición que W es un subespacio vectorial de V, el espacio vectorial generado por S. Los elementos de W son todas las combinaciones lineales de elementos de S. Por lo tanto v_1,...,v_r \in V. El espacio de estos vectores es

{ \rm span } \left(v_1,...,v_r\right) = \left\{ {\lambda _1 v_1  +  \cdots  + \lambda _r v_r |\lambda _1 , \ldots ,\lambda _r  \in \mathbb K} \right\}.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV espais vectorials» (en catalán). Àlgebra lineal i geometría. Publ. UAB. 
  • Lang, S. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano. 
  • Queysanne, M., Álgebra Básica, Vicens-Vives. 1973.
  • Rudin, w., Análisis Funcional (Definición axiomática de espacios vectoriales topológicos introductivamente), Reverté.