Espacio métrico

En matemática, un espacio métrico es un conjunto junto con una función distancia (porque cumple con unas propiedades concretas atribuidas a las distancias) definida sobre él, de modo que cualquier par de puntos (o elementos) del conjunto están a una cierta distancia asignada por dicha función.

En particular, cualquier espacio métrico será, además, un espacio topológico porque cualquier función de distancia definida sobre un conjunto dado induce una topología sobre dicho conjunto. Se trata de la topología inducida por las bolas abiertas asociadas a la función distancia del espacio métrico.

Definiciones

Definición de espacio métrico

Formalmente, un espacio métrico es un conjunto $M$ (a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada una métrica) $d:M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ (donde $\mathbb {R}$ es el conjunto de los números reales). Decir $d$ es una distancia sobre $M$ es decir que para todo $x$ , $y$ , $z$ en $M$ , esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia:

$d(x,y)\geq 0$ (positividad)
$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ (identidad de los indiscernibles)
$d(x,y)=d(y,x)\,$ (simetría)
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,$ (desigualdad triangular).

Algunas definiciones asociadas a un espacio métrico

Sea $(M,d)\!$ un espacio métrico, y sean $a\in M\!$ y $r\in \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}\!$ un punto de $M\!$ y un número real positivo o cero, respectivamente:

Se llama bola (abierta) centrada en $a$ y de radio $r$ , al subconjunto de $M\!$ : $\{x\in M|d(x,a)<r\}$ , denotado usualmente como $B(a,r)$ , o como $B_{r}(a)$ .
Se llama bola cerrada centrada en $a$ y de radio $r$ , al subconjunto de $M\!$ : $\{x\in M|d(x,a)\leq r\}$ , denotado usualmente como $B_{c}(a,r)$ o como ${\overline {B}}(a,r)$ o también como ${\overline {B}}_{r}(a)$ .
En análisis funcional la terminología puede llevar un poco a confusión, pues a la bola abierta de radio $r\,\!$ y centro $a\,\!$ se la suele denotar por $U(a,r)\,\!$ o por $U_{r}(a)\,\!$ , mientras -y aquí viene la posible confusión- a la bola cerrada de centro $a\,\!$ y radio $r\,\!$ se la denota por $B(a,r)\,\!$ o por $B_{r}(a)\,\!$ .
Algunos autores utilizan la expresión disco en lugar de bola, así es que se puede hablar en términos de disco abierto y disco cerrado. En particular, esta terminología se utiliza en Variable Compleja, y cuando se considera la distancia euclídea sobre el conjunto $\mathbb {R} ^{2}$ .
Se llama esfera centrada en $a$ y de radio $r$ , al subconjunto de $M\!$ : $\{x\in M|d(x,a)=r\}\!$ , denotado usualmente como $S(a,r)$ , o como $S_{r}(a)$ .

Topología de un espacio métrico

La distancia $d$ del espacio métrico induce en $M$ una topología, y por tanto el espacio es, a su vez, un espacio topológico al tomar como subconjuntos abiertos para la topología a todos los subconjuntos $U$ que cumplen

(\forall u\in U)(\exists \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}|B(u,\varepsilon )\subset U)

.

Esto es a todos los subconjuntos $U$ para los cuales cualquier punto en $U$ es el centro de alguna bola de radio positivo totalmente incluida en $U$ , o lo que es lo mismo: U no tiene puntos en la frontera; no tiene frontera.

Dicha topología se denomina topología inducida por $d$ en $M$ .

Podemos entonces interpretar intuitivamente que un conjunto abierto es entonces una parte que tiene un cierto "espesor" alrededor de cada uno de sus puntos.

Un subespacio métrico $(E,d)\,$ de un espacio métrico $(M,d)\,$ es subespacio topológico del espacio topológico $(M,T)\,$ , donde $T\,$ es la topología en $M\,$ inducida por $d$ . Es decir, $E\,$ hereda de $M\,$ la topología inducida por $d$ .

Un entorno $V$ de un punto $a$ de un espacio métrico $M$ no es más que un subconjunto $V\subset M$ de forma que exista un $r>0$ tal que la bola abierta $B(a,r)\subset V$ . El conjunto $\{B(a,r):a\in M,r\in \mathbb {R} ,r>0\}$ es base de la topología inducida por $d$ , y también es base de entornos de dicha topología. Como $\mathbb {Q}$ es denso en $\mathbb {R}$ , resulta entonces que $\{B(a,r):a\in M,r>0,r\in \mathbb {Q} \}$ también es base de entornos de la topología inducida por $d$ . En consecuencia, todo espacio métrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.

Todo espacio métrico es espacio de Hausdorff. Además, al igual que ocurre en espacios pseudométricos, para los espacios métricos son equivalentes las siguientes propiedades: ser espacio de Lindelöf, cumplir el Primer Axioma de Numerabilidad y ser separable.

Sistemas axiomáticos alternativos

La propiedad 1 ( $d(x,y)\geq 0$ ) se sigue de la 4 y la 5. Algunos autores usan la recta real extendida y admiten que la distancia tome el valor $\infty$ . Cualquier métrica tal puede ser reescalada a una métrica finita (usando $d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))$ o $d''(x,y)=\min(1,d(x,y))$ ) y los dos conceptos de espacio métrico son equivalentes en lo que a topología se refiere. Una métrica es llamada ultramétrica si satisface la siguiente versión, más fuerte, de la desigualdad triangular:

\forall x,y,z\in M,d(x,z)\leq {\mbox{max}}(d(x,y),d(y,z))

.

Si se elimina la propiedad 3, se obtiene un espacio pseudométrico. Sacando, en cambio, la propiedad 4, se obtiene un espacio quasimétrico. No obstante, perdiéndose simetría en este caso, se cambia, usualmente, la propiedad 3 tal que ambas $d(x,y)=0$ y $d(y,x)=0$ son necesarias para que $x$ e $y$ se identifiquen. Todas las combinaciones de lo anterior son posibles y referidas por sus nomenclaturas respectivas (por ejemplo como quasi-pseudo-ultramétrico).

Ejemplos

Sea X un conjunto cualquiera no vacío y definamos d

d(x,y)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}x=y\\1&{\mbox{si }}x\neq y\end{cases}}

Entonces d es una métrica en X, llamada métrica discreta y (X,d) es espacio métrico; (X, d) se llama espacio discreto; ver Análisis real de Haaser y Sullivan.

Los números reales con la función distancia d(x, y) = |y - x| dada por el valor absoluto, y más generalmente n-espacio euclídeo con la distancia euclidiana, son espacios métricos completos. El sistema de los números complejos C es un espacio métrico . C como espacio métrico es igual a RxR.
Más generalmente aun, cualquier espacio vectorial normado es un espacio métrico definiendo d(x, y) = ||y - x||. Si tal espacio es completo, lo llamamos espacio de Banach.
Si X es un conjunto y M es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas f : X -> M (i.e. aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de M) puede ser convertido en un espacio métrico definiendo d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) para cualesquiera funciones acotadas f y g. Si M es completo, entonces este espacio es completo también.
Si X es un espacio topológico y M es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones continuas acotadas de X a M forma un espacio métrico si definimos la métrica como antes: d(f, g) = sup_{x en X} d(f(x), g(x)) para cualesquiera funciones continuas acotadas f y g. Si M es completo, entonces este espacio es completo también.

Si M es un espacio métrico, podemos convertir al conjunto K(M) de todos los subconjuntos compactos de M en un espacio métrico definiendo distancia de Hausdorff d(X, Y) = inf{r: para cada x en X existe un y en Y con d(x, y) < r y para cada y en Y existe un x en X con d(x, y) < r). En este métrica, dos elementos están cerca uno de otro si cada elemento de un conjunto está cerca de un cierto elemento del otro conjunto. Se puede demostrar que K(M) es completo si M es completo.

Un análisis lógico

El concepto métrico fundamental es el de función corta, los morfismos de la categoría métrica (los isomorfismos, i.e. aplicaciones bi-cortas, son las isometrías), pero su expresión usual usa el orden y la suma en los reales positivos luego,
1) Es obvio que : | x - |x - y | | = y es lo mismo que x = 0 o y ≤ x, luego distancia en los reales positivos da orden débil allí, orden fuerte (y ≤ x ssi ... ) es difícil, pero posible, si se acepta una solución de |x - y | = y i.e. y = x / 2.
2) | d(y, z) - |d(y, z) - d´(f(y), f(z)) | | = d´(f(y), f(z)) expresa que f es una función corta, sin ninguna referencia a un orden en los reales positivos.
3) La siguiente equivalencia de la desigualdad triangular

| d(x, y) - d(x, z) | ≤ d(y, z)

expresa (sin ninguna referencia a una operación en los reales positivos, |x - y| es la distancia allí) el hecho que d(x, -) es función corta (luego uniforme, luego continua). d: x - > d(x,-) es una isometría.

Reuniendo ambas : | d(y, z) - |d(y, z) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | expresa desigualdad triangular directamente.
un leve cambio : | d(y, z) - |d(z, y) - | d(x, y) - d(x, z) | | | = | d(x, y) - d(x, z) | expresa desigualdad triangular y simetría (hacer z = x y usar | x - d(y, y)| = x).

Espacios metrizables

Un espacio topológico $(X,T)$ se dice que es metrizable cuando existe una distancia $d$ cuya topología inducida sea precisamente la topología $T$ .

Un problema fundamental en Topología es determinar si un espacio topológico dado es o no metrizable. Existen diversos resultados al respecto.

Teorema de metrización de Urysohn

Todo espacio topológico regular que cumpla el Segundo Axioma de Numerabilidad es metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición suficiente)

Todo espacio regular con una base numerable localmente finita es metrizable.

Teorema de metrización de Nagata-Smirnov (condición necesaria)

Todo espacio metrizable tiene una base numerable localmente finita.

Teorema de metrización de Stone

Todo espacio metrizable es paracompacto.

Teorema de metrización de Smirnov

Un espacio topológico es metrizable si y solo si es paracompacto y localmente metrizable.

Teorema de metrización de espacios completamente separables

Un espacio topológico completamente separable es metrizable si y solo si es regular.

Véase también

Referencias

Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, SBN 978-3-03719-010-4