Espacio de Hausdorff

En topología, un espacio de Hausdorff, separado o $T_{2}$ es un espacio topológico en el que puntos distintos tienen entornos disjuntos.

Los espacios de Hausdorff se llaman así en honor de Felix Hausdorff, uno de los fundadores de la topología. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico (de 1914) incluía la propiedad de Hausdorff como axioma.

Todo espacio métrico (y por lo tanto todo espacio normado) es un espacio de Hausdorff.

Definiciones

Se dice que dos puntos $x$ e $y$ de un espacio topológico $X$ cumplen la propiedad de Hausdorff si existen dos entornos $U_{x}$ de $x$ y $U_{y}$ de $y$ tales que $U_{x}\cap U_{y}=\varnothing$ .

Se dice que un espacio topológico es un espacio de Hausdorff (o que verifica la propiedad de Hausdorff, o que es separado o que es $T_{2}$ ) si todo par de puntos distintos del espacio verifican la propiedad de Hausdorff.

(Obsérvese que si x = y, x e y no verifican la propiedad de Hausdorff.)

Principales propiedades de los Espacios de Hausdorff

Todo espacio de Hausdorff es también de Fréchet o T₁, y por lo tanto también es un espacio T D y también un espacio de Kolmogórov o $T_{0}$ .
Así pues, por ser $T_{1}$ , todo conjunto unitario es cerrado (para todo punto el conjunto formado por sólo ese punto {p} es un conjunto cerrado).

Véase también