Espacio cociente (álgebra lineal)

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En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F.

Definición[editar]

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E:

Dados diremos que están relacionados módulo si .

La relación anterior es una relación de equivalencia
Se considera la relación y se comprueban:
Propiedad reflexiva:
Dado un elemento se tiene que
Propiedad de simetría:
Dados dos elementos se tiene que si entonces es decir
Propiedad transitiva:
Dados tres elementos se tiene que si y entonces es decir

Observación: equivale a , es decir, y abusando del lenguaje

Se nota por a la clase de módulo .

Llamaremos espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior:

Se nota por a dicho espacio cociente.

El espacio es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

La suma y multiplicación están definidas por ser un subespacio vectorial:
  • Propiedad conmutativa:
  • Propiedad asociativa:
  • Existencia del elemento neutro:
  • Existencia del elemento opuesto:
  • Propiedad asociativa:
  • Propiedad del elemento neutro de K:
  • Propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
  • Propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

Observaciones

Si por constituir una partición de
Si
Si ,
Los elementos de no son un espacio vectorial en pues no tiene el elemento neutro

Dimensión del espacio cociente[editar]

Dado un espacio vectorial y un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces:

  • es de dimensión finita
  • .
Sean , y una base de Se puede completar la base hasta obtener una de , .
.

Tomando clases, , pues (ya que ). Luego, se tiene que generan

Para ver que son linealmente independientes, supóngase que:

,

entonces, pertenece a , en consecuencia, existen tales que .

Por la independencia lineal de , se sigue que .

Por lo tanto, son una base de y

Ejemplo[editar]

Sea un subespacio vectorial de generado por un vector , , si se considera el espacio cociente la clase de un vector será:

, siendo su espacio cociente , es decir todas las rectas paralelas al subespacio F.
F y 2 clases [u], [u'] del espacio cociente .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Manuel Castellet, Irene Llerena, Álgebra lineal y geometría, Editorial reverté, S.A., 2000.