Nonio

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Nonio en un cañón.

El nonio o escala de Vernier[1] [2] es una segunda escala auxiliar que tienen algunos instrumentos de medición, que permite apreciar una medición con mayor exactitud al complementar las divisiones de la regla o escala principal del instrumento de medida.[3]

Historia[editar]

Astrolabio con nonio.

Pedro Nunes, conocido también por su nombre latino como Petrus Nonius (Alcácer do Sal, Portugal, 1492Coímbra, 1577), matemático, astrónomo y geógrafo portugués del siglo XVI, inventó en 1514 el nonio: un dispositivo de medida de longitudes que permite —con la ayuda de un astrolabio— medir fracciones de grado de ángulo mediante una escala auxiliar.

Pierre Vernier (Ornans, 1580 – ibídem, 1637), matemático francés, es conocido por la invención en 1631 de la escala Vernier para medir longitudes con gran precisión.

Dada la primera invención de Pedro Nunes (1514) y el posterior desarrollo de Pierre Vernier (1631), en la actualidad esta escala se suele denominar como «nonio» o «vernier», siendo empleado uno u otro término en distintos ambientes. En la rama técnica industrial suele ser más utilizado nonio, si bien el término «vernier» es común en la enseñanza y en las ciencias aplicadas. Tomaremos el término «nonio» al ser el más antiguo y por tanto el que aportó la idea original, considerando, en todo caso, «nonio» y «vernier» como términos sinónimos.


Principio de funcionamiento[editar]

El sistema consiste en una regla sobre la que se ha grabado una serie de divisiones según el sistema de unidades empleado, y una corredera o carro móvil, con un fiel o punto de medida, que se mueve a lo largo de la regla.

Nonio lineal B 0400 00.svg Nonio lineal B 0400 01.svg Nonio lineal B 0400 02.svg
Nonio lineal B 0400 03.svg Nonio lineal B 0400 04.svg Nonio lineal B 0400 05.svg
Nonio lineal B 0400 06.svg Nonio lineal B 0400 07.svg Nonio lineal B 0400 08.svg

En una escala de medida, podemos apreciar hasta su unidad de división más pequeña, siendo esta la apreciación con la que se puede dar la medición; es fácil percatarse de que entre una división y la siguiente hay más medidas, que unas veces están más próximas a la primera de ellas y otras a la siguiente.

Nonio lineal B 0401 00b.svg

Para poder apreciar distintos valores entre dos divisiones consecutivas, se ideó una segunda escala que se denomina nonio o vernier. Grabada sobre la corredera y cuyo punto cero es el fiel de referencia. El nonio o vernier es esta segunda escala, no el instrumento de medida o el tipo de medida a realizar, tanto si es una medición lineal, angular, o de otra naturaleza, y sea cual fuere la unidad de medida. Esto es, si empleamos una regla para hacer una medida, solo podemos apreciar hasta la división más pequeña de esta regla; si además disponemos de una segunda escala, llamada nonio o vernier, podemos distinguir valores más pequeños.

El nonio o escala vernier toma un fragmento de la regla y lo divide en un número más de divisiones. En la figura se toman 3 divisiones de la regla y la dividen en 4 partes iguales; como caso más sencillo para ver el principio de funcionamiento. Esto hace que si la división cero del nonio coincide con la división cero de la regla, la distancia entre la primera división de la regla y la primera del nonio este desplazada un cuarto de la unidad de la regla; que entre la segunda división de la regla y la segunda del nonio haya una diferencia de dos cuartos de la regla, esto es la mitad de la unidad de la regla; y así, sucesivamente, la cuarta división del nonio coincide con la tercera de la regla, según se ha dicho en la forma de construcción del nonio. Esto hace que en todos los casos en los que el punto 0 del nonio coincida con una división de la regla el último punto del nonio también lo haga.

Nonio lineal B 0401 00b.svg Nonio lineal B 0401 01b.svg Nonio lineal B 0401 02b.svg
Nonio lineal B 0401 03b.svg Nonio lineal B 0401 04b.svg Nonio lineal B 0401 05b.svg
Nonio lineal B 0401 06b.svg Nonio lineal B 0401 07b.svg Nonio lineal B 0401 08b.svg

El fiel indica el número entero de divisiones de la regla, y el nonio o vernier indica su posición entre dos divisiones sucesivas de la regla.

Nonio lineal B 0401 00c.svg Nonio lineal B 0401 01c.svg Nonio lineal B 0401 02c.svg
Nonio lineal B 0401 03c.svg Nonio lineal B 0401 04c.svg Nonio lineal B 0401 05c.svg
Nonio lineal B 0401 06c.svg Nonio lineal B 0401 07c.svg Nonio lineal B 0401 08c.svg

Para leer la medida primero se determina la posición del fiel por defecto señala la unidad entera, la división del nonio o vernier indica la parte fraccionaria.

Características del nonio[editar]

Nonio lineal An 0402.svg

Partiendo de una regla de divisiones igualmente espaciadas se define:

u: unidad de la regla.

Que, salvo que se especifique otro caso, toma el valor uno en la magnitud que mide la regla.

Una escala nonio se caracteriza por dos valores fundamentales:

n: número de divisiones del nonio.
k: constante de extensión.

Donde n y k son números enteros adimensionales, k mayor o igual que 1, normalmente 1 ó 2 cuando se quiere facilitar la lectura.

Y podemos ver otras características (derivadas de las anteriores):

A: apreciación, medida más pequeña que puede representar.
L: longitud del nonio, distancia entre la primera y última división del nonio, medida en la misma unidad de la regla.
S: separación entre dos divisiones sucesivas del nonio, medida en unidades de la regla.

Una escala nonio se basa en dos principios fundamentales que la definen (véase figura a la derecha):

1. la longitud del nonio es:

2. la separación entre dos divisiones sucesivas del nonio es:

por lo que tenemos:

de donde obtenemos el valor de la apreciación:A:

cumpliéndose que:

En resumen, para:

Nonio lineal An 0501.svg

dados, temos que:

y según las relaciones fundamentales, tenemos que:

Influencia de k[editar]

Nonio lineal An 0302.svg

La influencia de los distintos valores de k en un nonio, viene definido por lo siguiente. Definido los valos de k como un número natural:

La separación S, viene determinada por:

para valores sucesivos de k:

Esto es, si para un valor de k la separación de las divisiones del nonio es S, si k se incremente en una unidad, S aumenta en una unidad de la regla: u.

Nonio lineal An 0303.svg

Del mismo modo podemos ver la influencia de k en la longitud total del nonio L, sabiendo que:

Al incrementar k, tenemos:

Si en un nonio de longitud L para un valor de k dado, si se incrementa k en una unidad, la longitud del nonio: L, se incremente en n veces la unidad de la regla u.

La apreciación A, solo depende de la unidad de la regla u, y del número de divisiones del nonio n, el valor de k no influye

La apreciación: A es independiente de la variable de extensión: k.

Las variables del nonio como funciones[editar]

El planteamiento, como función, de los distintos valores que definen un nonio, permite ver claramente sus dimensiones y las posibles variantes que admite. Los valores u y n los consideraremos parámetros.

Esto define la apreciación A:

El valor de k está definido por:

Siendo i un número natural, que tomaremos como variable independiente.

La separación entre divisiones del nonio: S está definida:

La longitud del nonio: L será:

La definición de los distintos valores de u y n, que define una apreciación A, para i = 1 definen el nonio más sencillo para esos valores. Si incrementamos progresivamente i el nonio se ira extendiendo en longitud, con la misma apreciación, presentando las distintas opciones posibles, en función de i.

Lectura del nonio[editar]

Visto lo anterior, tomando una regla graduada en milímetros, u= 1mm, veamos la lectura de un nonio con un poco más de rigor. Tomaremos como ejemplo uno de cinco divisiones y una constante k = 2.

Nonio lineal An 0502.svg

En la figura podemos ver este nonio de cinco divisiones; la línea del fiel esta en la línea cero de la regla, y la última división del nonio coincide con la 9 de la regla.

Si la corredera no dispusiese de una escala nonio, no podríamos apreciar medidas inferiores a las de una división de la regla, como ya se mencionó antes. En este caso las cinco divisiones del nonio nos permiten una apreciación de 0,2mm.

Nonio lineal B 0502 00b.svg Nonio lineal B 0502 01b.svg Nonio lineal B 0502 02b.svg Nonio lineal B 0502 07b.svg

Podemos ver una progresión de medidas de 0,2mm, y la coincidencia sucesiva de las divisiones del nonio con las de la regla.

Nonio lineal B 0502 00c.svg Nonio lineal B 0502 01c.svg Nonio lineal B 0502 02c.svg Nonio lineal B 0502 07c.svg

Cuando la lectura es cero (el fiel coincide con el cero de la regla) podemos ver que la última división del nonio también coincide con una división de la regla.

Al desplazarse la corredera, el fiel avanza respecto a la división cero de la regla, si la primera división del nonio coincide con una división de la regla la lectura es 0,2mm.

Si la corredera de desplaza más a la derecha y la segunda división de nonio coincide con una división de la regla, la lectura es 0,4mm.

El ciclo se repite, aumentando la medida, cuando la primera división del nonio vuelve a coincidir con una división de la regla (la lectura será 1,0 1,2 1,4 ...), repitiéndose el proceso en toda la longitud de la regla.

La lectura del valor entero en la regla y la parte decimal en el nonio, con la apreciación que corresponda a su número de divisiones, da lugar a poder realizar lecturas de mediciones con mayor precisión que las unidades de la regla. Las distintas formas del nonio o vernier que se pueden construir permiten un abanico de instrumentos adaptable a las distintas necesidades, de una forma ingeniosa, económica y de gran calidad en las medidas.

Nonio de 10 divisiones[editar]

Nonio lineal Cn 1001.svg

El primer ejemplo visto con anterioridad corresponde a 10 divisiones; con n = 10, tenemos que:

Este nonio, a pesar de su sencillez, es dentro del sistema decimal el más difundido en todo tipo de instrumentos.

Nonio lineal B 1001 00b.svg Nonio lineal B 1001 01b.svg Nonio lineal B 1001 02b.svg Nonio lineal B 1001 16b.svg Nonio lineal B 1001 17b.svg
Nonio lineal B 1001 00c.svg Nonio lineal B 1001 01c.svg Nonio lineal B 1001 02c.svg Nonio lineal B 1001 16c.svg Nonio lineal B 1001 17c.svg

Y un buen ejemplo para comprender y adquirir cierta destreza en su manejo, antes de pasar a configuraciones más complejas.

Nonio lineal Cn 1002.svg

En el caso de que k = 2, tendríamos:

un nonio de 19 mm de longitud y 10 divisiones, tendría la misma apreciación, que uno de 9 mm con 10 divisionas, en el doble de longitud, lo que facilitaría su lectura, al estar sus divisiones más separadas.


Nonio lineal Cn 1004.svg
Messschieber2.jpg

Otro ejemplo de nonio con n= 10 y k= 4 es el de la imagen.

Este caso de nonio en un calibre no es muy usual, siendo su característica más destacada la facilidad de lectura por la gran distancia entre sus divisiones.

En la imagen se ve un calibre con este nonio, cerrado, con lectura 0 mm.

Nonio de 20 divisiones[editar]

Podemos ver otro ejemplo, que junto con el anterior, es el más utilizado en el sistema decimal. Un nonio de 19 de longitud y 20 divisiones, con lo que tendríamos:

Nonio lineal Cn 2001.svg

La longitud del nonio de 10 divisiones y k = 2 y 20 divisiones y k = 1 es la misma: 19 mm, como puede verse, pero en este segundo caso las 20 divisiones dan una apreciación de 0,05. En el caso anterior es de 0,1, por la diferencia en el número de divisiones.

Para un calibre Pie de Rey es la mayor apreciación, dado que divisiones más pequeñas no serían apreciables a simple vista, y seria necesario un equipo óptico auxiliar.

Si consideramos la posibilidad con n=20 y k=2, obtendremos una nonio de mayor longitud con la misma apreciación, así:

Nonio lineal Cn 2002.svg
Nonius.jpg

En la imagen podemos ver este caso: la apreciación del instrumento es alta, 0,05mm, pero su lectura a simple vista resulta difícil. En la imagen puede verse en 3,50 mm y difícilmente podemos determinar si la lectura es 3,45 mm ó 3,55 mm. El límite de la escala nonio viene determinado por la agudeza de la visión del usuario, que no suele superar 0,1 mm con ciertas garantías.

Nonio de 40 divisiones[editar]

Un ejemplo muy práctico y poco corriente es el nonio de 40 divisiones y una constante k= 1, con lo que tendríamos:

Nonio lineal Cn 4001.svg

Este nonio tiene una apreciación de 25 micras, cada cuatro divisiones del nonio es una décima de milímetro.

Nonio de 50 divisiones[editar]

Veamos un nonio de gran apreciación, el de 50 divisiones, sobre una regla en milímetros.

Nonio lineal Cn 5001.svg
Messschieber.jpg
Noniusz 002mm 49mm ex.jpg

Un nonio de 50 divisiones es el de la fotografía.

La apreciación del instrumento, una división del nonio, equivale a 0,02, cada cinco divisiones son 0,02 * 5 = 0,1. En el nonio o escala vernier, se puede ver que cada cinco divisiones están marcadas con un número del 0, para indicar el fiel y comienzo de la escala, y correlativamente del 1 al 10 indicando las décimas de milímetro.

La segunda fotografía representa en detalle el nonio de la misma imagen, indicando la lectura: 3,58, con dos trazos rojos, uno indica el 3, el valor de la regla anterior al fiel, y la otra la cuarta marca después del 5 en el nonio.

Aun tratándose de una fotografía ampliada, el señalar una lectura con más precisión de 3,6 es dificil. Es fácil percatarse de las dificultades de este calibre para diferenciar medidas de esta precisión, y aunque sí se fabrican y comercializan calibres de este tipo, en la práctica, resultaría poco útil intentar realizar mediciones de más apreciación que 0,05 mm en un calibre a simple vista.

Nonios de igual longitud[editar]

Nonio lineal Cn 1004b.svg
Nonio lineal Cn 2002b.svg
Nonio lineal Cn 4001b.svg

La comparación de distintos nonios de igual longitud nos permite ver la importancia entre las separaciones de las divisiones, por ejemplo con u= 1mm, n=10 y k= 4, tenemos:

con una apreciación A= 0,1mm pero si tomamos los valores: u= 1mm, n=20 y k= 2, tendremos:

con una apreciación A= 0,05mm y con la misma longitud L= 39mm que en el caso anterior, si por el contrario tomamos: u= 1mm, n=40 y k= 1:

con una apreciación A= 0,025mm, viéndose cuatro divisiones entre dos décima de milímetro sucesivas, en una misma longitud del nonio que en los casos anteriores.

Si entre dos divisiones del nonio hay más de una división de la regla, siempre cabe la posibilidad de añadir divisiones al nonio aumentando la apreciación A, y dando lugar, por supuesto, a que las distancia S de separación entre ellas sea menos.

Uso del nonio[editar]

El uso del nonio en los instrumentos de medida está muy generalizado, y se emplea en todo tipo de instrumento. Es en el calibre,[4] sin lugar a dudas, donde su utilización es más general y popular. También es utilizado en los planímetros, para cálculo de superficies.

Podemos ver un calibre con nonio o vernier de n= 10 y k= 1:

Calibre E4a.svg


Un mismo calibre puede ser construido con distintos nonios, según las características deseadas. Por ejemplo com n= 10 y k= 2:

Calibre E4b.svg


o un nonio o vernier con: n= 20 y k= 1:

Calibre E4c.svg


Este instrumento de medida, de gran precisión, que por su bajo coste es versátil y práctico, ha alcanzado una amplia difusión en los más distintos ámbitos.

Nonio en la escala sexagesimal[editar]

Teilapparat Skala mit Nonius.JPG

Hasta ahora hemos visto nonios o escala vernier, en el sistema decimal, donde una unidad inferior es la décima parte, esto es, un dígito a la derecha del anterior. En sistemas no decimales, como por ejemplo el sexagesimal, también se emplea este sistema de medición y la escala del nonio se puede representar en la unidad inferior.

En el sistema sexagesimal, el de medida de ángulos, por ejemplo; en grados, minutos y segundos, donde un grado son sesenta minutos y un minuto sesenta segundos, podemos emplear un nonio del siguiente modo.


Nonio angular C 0000.svg

Partiendo de una regla graduada en grados sexagesimal podemos ver que:

y sabemos que:

la apreciación del nonio es:

donde n es el número de divisiones, y la apreciación vendrá dada en grados sexagesimal, por tanto podemos decir:

donde la apreciación vendrá dada en minutos sexagesimal.

Buscando el número n de divisiones entre los divisores de sesenta, tendremos una escala en minutos.

Nonio angular de 12 divisiones[editar]

Nonio angular C 1201.svg

Por ejemplo para n = 12 y k = 1, tendremos:


Según la ordenación de las divisiones puede tomar los siguientes aspectos:

Nonio angular C 1201a2.svg Nonio angular C 1201b2.svg

Este sencillo Nonio o Vernier, resulta muy practico con una apreciación de 5 minutos, se pueden agrupar las divisiones es una escala de 10, o en una escala de 15, 30, 45, 60, que en el sistema sexagésimas es muy utilizada.

Nonio angular de 15 divisiones[editar]

Nonio angular C 1501.svg

Otro ejemplo seria: n = 15 y k = 1, tendremos:


Diderenciando las divisiones del nocio, podemos tener setos dos aspectos diferentes:

Nonio angular C 1501a2.svg Nonio angular C 1501b2.svg


Nonio angular de 20 divisiones[editar]

Nonio angular C 2001.svg

Un caso interesante es: n = 20 y k = 1, tendremos:


Que se puede configurar, destacando algunas de sus divisiones de tres formas:

Nonio angular C 2001a2.svg Nonio angular C 2001b2.svg Nonio angular C 2001c2.svg


Nonio angular de 30 divisiones[editar]

Nonio angular C 3001.svg

Con los valores: n = 30 y k = 1, tenemos el caso:


Configurado del siguiente modo:

Nonio angular C 3001a2.svg Nonio angular C 3001b2.svg Nonio angular C 3001c2.svg

El ultimo caso con una apreciación de 2 minutos, señalando las divisiones multiplos de 10, resulta comodo de leer en el sistema decimal de numeración.

Longitud del nonio: L = (nk + 1)u. El otro nonio.[editar]

Hasta ahora hemos visto L = (nk - 1)u, pero existe otra posibilidad haciendo L = (nk + 1)u.

1. la longitud del nonio:

2. la separación entre dos divisiones sucesivas del nonio:

y tenemos:

y como en el caso anterior tenemos que:

en este caso tenemos:

y según las relaciones fundamentales, tenemos que:

Lectura de este nonio[editar]

Como ejemplo tomaremos uno de cinco divisiones y k = 1, comparándolo con el ya analizado.

Nonio lineal F 0501 00b.svg

En primer lugar, es apreciable que la separación en este nonio es mayor que en el caso anterior, que las divisiones coinciden en sentido inverso, en el ejemplo sobre la división de la regla 100mm podemos ves las sucesivas mediciones empleando los dos tipos de nonio.

Nonio lineal F 0501 01b.svg Nonio lineal F 0501 02b.svg Nonio lineal F 0501 03b.svg Nonio lineal F 0501 04b.svg Nonio lineal F 0501 05b.svg
Nonio lineal F 0501 06b.svg Nonio lineal F 0501 07b.svg Nonio lineal F 0501 08b.svg Nonio lineal F 0501 09b.svg Nonio lineal F 0501 10b.svg

Este nonio se traza desde el punto de medida hacia atrás, por lo que no es lo más indicado para una regla lineal, pero si es muy adecuado para un tambor. por ejemplo.

Nonio lineal F 0501 01c.svg Nonio lineal F 0501 02c.svg Nonio lineal F 0501 03c.svg Nonio lineal F 0501 04c.svg Nonio lineal F 0501 05c.svg
Nonio lineal F 0501 06c.svg Nonio lineal F 0501 07c.svg Nonio lineal F 0501 08c.svg Nonio lineal F 0501 09c.svg Nonio lineal F 0501 10c.svg

Nonio de 10 divisiones[editar]

Nonio lineal H 1001.svg

En este tipo de nonio, son n y k los parametros que determinas sus dimensiones, pero a diferencia del primer caso visto, las divisiones se colocan en sentido opuesto al de avance de la corredera.

Las similitudes y las diferencias entre el nonio con: L = (kn - 1)u, y los que tienen L = (kn + 1)u nos permite disponer de una segunda opción para cada caso, definidos por n y k, podemos ver estos dos nonios en una misma regla.

En la figura se puede ver la división del punto de medida, señalada con el número cero, a la derecha del primer nonio con una separaración entre sus divisiones menos que las de la regla, de modo que cuando la corredera se desplaza hacia la derecha irán coincidiendo con una división de la regla sucesivamente.

El segundo nonio se extiende desde el punto de medida hacia la izquierda, la separación de sus divisiones es mayor que las de la regla, de modo que cuando la corredera se desplaza hacia la derecha irán coincidiendo sucesivamente con las divisiones de la regla, del mismo modo que en el primer caso.

Nonio lineal G 1001.svg

Estas dos opciones de nonio, si bien la primera es la más difundía, debido a que puede ser trazado con una regla que comience desde cero, sin divisiones anteriores, como en un calibre pie de rey. El segundo caso tiene unas divisiones más separada y necesita divisiones en la regla anteriores a la unidad medida, como por ejemplo en un tambor circular.

En el primer caso su división de la izquierda define el punto de medida y el nonio se extiende hacia la derecha, en el segundo caso el punto de medida viene definido por su división derecha si el nonio se extiende hacia la izquierda, esto ha de ser tenido en cuenta sobre todo al utilizar un instrumento de medida que no nos es familiar, nuevo, o de construcción o diseño reciente.

Esta segunda configuración admite el mismo análisis que el primero, y pueden construirse todas las configuraciones para n y k, como en el primer caso. Veamos para n= 10 y k= 2.

Nonio lineal H 1002.svg

Nonio de 20 divisiones[editar]

Un nonio de 20 divisiones, con k= 1, da como resultado una nueva configuración de nonio.

Nonio lineal H 2001.svg

Con lo que tenemos una apreciación de 0,05mm.

Nonio de 40 divisiones[editar]

Si tomamos 40 divisiones el resultado es:

Nonio lineal H 4001.svg

En los nonios de n pequeño las diferencias de n+1 y n-1 son muy evidentes, pero a medida que n es mayor la diferencia es más sutil, como es fácil de ver.

Nonio de 50 divisiones[editar]

Una configuración de nonio de gran apreciación, casi al límite de la capacidad de apreciación del ojo humano es el de 50 divisiones:

Nonio lineal H 5001.svg

Esta apreciación 0,02mm, dos centésimas de milímetro, efectivamente, es difícil de diferenciar a simple vista, y denota que no simple la construcción de instrumentos de gran apreciación consigue el fin buscado, debido a la agudeza de visión humana, la calidad del instrumento que tiene que garantizar ese grado de calidad, así como el estado de conservación del instrumento, etc.

Galería de ejemplos[editar]

El análisis de un nonio o vernier fuera de contexto puede dar una falsa imagen de la realidad, por lo que podemos ver distintos tipos de nonos o escalas vernier, en un calibre completo, algunas de estas configuraciones son difíciles de ver en calibres reales, pero las mostramos como abanico posible de configuraciones en un calibre.

El ejemplo más clásico tiene diez divisiones con k= 1, en configuración n-1:

Calibre X a1 00000.svg

Otra configuración con diez divisiones, k= 1 y configuración: n+1, tenemos:

Calibre X b1 00000.svg

esta cofiguración necesita divisiones de la regla a la izquierda del cero y la lectura de nonio se hace de derecha a izquierda, en contra del caso anterior, esto no redude la horquilla de medidas posibles del calibre, dado que las divisiones adicionales a la izquierda del cero son las mismas divisiones que el nonio n-1 necesita a la derecha en la medida máxima del calibre.

Calibre X a3 10000.svg
Calibre X b3 10000.svg

Las diferencias de los distintos calibres que se pueden ver según el nonio o vernier que tenga trazado en la corredera es fundamental para el manejo de este instrumento de medida, podemos ver distintas configuraciones de calibre con distintas medidas:

Calibre X a1 02680.svg
Calibre X a2 04460.svg
Calibre X a3 04950.svg

Si la configuración es n+1, el resultado es diferente, téngase en cuenta que en este tipo de nonios la lectura de la medida la determina la división cero de la derecha de nonio y la parte decimal se lee de derecha a izquierda:

Calibre X b1 02680.svg
Calibre X b2 04460.svg
Calibre X b3 04950.svg

La posición del calibre puede se una cualesquiera dentro de la horquilla de medida, pero la lectura se hace según la apreciación del nonio o Vernier que depende del número de divisiones, por lo tanto, siempre se podrán presentar mediciones que superen esa apreciación, en estos casos se redondea la lectura al velos más próximo según la apreciación del calibre.

Calibre X a1 00983.svg
Calibre X a2 00983.svg
Calibre X a3 00983.svg

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Frenabdez, Antonio (1994). «3». Manual de Prácticas de Laboratorio. intec. p. 5. ISBN 84-89525-48-X. 
  2. Ginjaume Pujadas, Albert; Torre Crespo, Felipe (2005). «3». Realización de proyectos y piezas en las máquinas herramienta. Paraninfo. p. 38. ISBN 9788497323536. 
  3. «2». Tecnología mecánica 3. Tr. Agustín Cortín. editorial Reverté. 1968. p. 5. ISBN 9788429182217. 
  4. Bendix, Friedrich (1978). «1». Alrededor del trabajo de los metales. Editorial Reverte SA. p. 13. ISBN 9788429160307. 

Bibliografía[editar]

  1. Esteban José Domínguez; Julián Ferrer (2011). Aparatos y útiles de medida (Mecanizado básico). Editorial: Editex. ISBN 978-84-9003-135-3. 
  2. Tómas Goméz Morales; José Martín Navarro; Eduardo Águeda Casado; Joaquín Gonzalo Garcia; José Luis García Jimenez (2008). Mecanizado básico. Editorial: Paraninfo. ISBN 978-84-9732-697-1. 
  3. A. LEYENSETER; G. WÜRTEMBER (2006). Tecnología para oficios metalúrgicos (Carlos Saenz de Magarola, trad.) (38 edición). Editorial: Reverte S.A. ISBN 978-8429-16-066-6. 
  4. Albert Ginjaume; Felipe Torre (2005). Realización de proyectos y piezas en las máquinas herramienta: libro de prácticas. Editorial Paraninfo. 
  5. Fernando García Márquez (2003). Curso básico de topografía. Editorial Pax México. ISBN 978-968-860-671-1. 
  6. Dietmar Falk; Gockel, H. K.; Lernet, F.; Schlossorsch, B. (1986). Metalotecnia fundamental. Editorial: Reverte S.A. ISBN 978-8429-16-047-5. 

Enlaces externos[editar]