Número entero algebraico

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En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal 1) con coeficientes en . El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adición y multiplicación y también es un subanillo de números complejos denotado mediante A. El anillo A es la clausura integral de los enteros regulares en los número complejos.

El anillo de los números enteros de un cuerpo numérico K, denotado mediante OK , es la intersección de K y A: éste también puede ser caracterizado como el máximo orden del cuerpo K.

Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algún cuerpo numérico. Un número x es un entero algebraico si y solo si el anillo ℤ[x] es finitamente generado como un grupo abeliano, es decir, como módulo -ℤ.

Definiciones[editar]

Números enteros algebraicos representados como puntos rojos en el plano complejo. Los valores 0, 1 e i están indicados.

Un número algebraico ξ es un entero algebraico si satisface alguna ecuación polinomial mónica

 f(x)= x^n + c_1x^{n-1} +...+ c^n = 0
con coeficientes enteros.
[1]

Como ejemplo  2 +\sqrt{2} es un entero algebraico; ya que verifica la ecuación cuadrática mónica

x^2 + 2x + 2 = 0 .

Las siguientes definiciones de un número entero algebraico son equivalentes; Sea K un cuerpo numérico (por ejemplo, una extensión finita de , en otras palabras, K = (θ) para algún θ por el teorema del elemento primitivo.

  • α ∈ K es un entero algebraico si existe un polinomio mónico f(x) ∈ [x] tal que f(α) = 0.
  • α ∈ K es un entero algebraico si el polinomio mónico mínimo de α sobre pertenece a [x].
  • α ∈ K es un entero algebraico si [α] es un módulo - finitamente generado.
  • α ∈ K es un entero algebraico si existe un submódulo - M finitamente generado tal que αMM.

Los números enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita K/.

Propiedades[editar]

  • Para un número algebraico a existe un un entero racional p de modo que na es un entero algebraico [2]
  • Entre los números racionales los únicos los únicos que son enteros algebraicos son los enteros 0, ±1, ±2, ±3,... [3]
  • La ecuación mínima de un entero algebraico es mónica con coeficientes enteros. [4]
  • Si  \alpha, \beta son enteros algebraicos, lo son  \alpha + \beta,  \alpha  \beta
  • La clase de todos los enteros algebraicos forma un anillo. [5]

Números p-ádicos[editar]

Referencias[editar]

  1. Niven y Zuckerman: Introducción a la teoría de números ISBN 968-18-0669-7
  2. Hefez: Algebra I, IMPa, brasil
  3. Niven y Zuckerman. Op. cit.
  4. Niven y Zuckerman. Op. cit.
  5. Niven y Zuckerman. Op. cit.

Véase también[editar]

Consultable[editar]

  • Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977