Energía potencial

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Los carros de una montaña rusa alcanzan su máxima energía potencial gravitacional en la parte más alta del recorrido. Al descender, ésta es convertida en energía cinética, la que llega a ser máxima en el fondo de la trayectoria (y la energía potencial mínima). Luego, al volver a elevarse debido a la inercia del movimiento, el traspaso de energías se invierte. Si se asume una fricción insignificante, la energía total del sistema permanece constante.

En un sistema físico, la energía potencial es la energía que mide la capacidad que tiene dicho sistema para realizar un trabajo en función exclusivamente de su posición o configuración. Puede pensarse como la energía almacenada en el sistema, o como una medida del trabajo que un sistema puede entregar. Suele abreviarse con la letra \scriptstyle U o \scriptstyle E_p.

La energía potencial puede presentarse como energía potencial gravitatoria, energía potencial electrostática, y energía potencial elástica.

Más rigurosamente, la energía potencial es una magnitud escalar asociada a un campo de fuerzas (o como en elasticidad un campo tensorial de tensiones). Cuando la energía potencial está asociada a un campo de fuerzas, la diferencia entre los valores del campo en dos puntos A y B es igual al trabajo realizado por la fuerza para cualquier recorrido entre B y A.

Energía potencial asociada a campos de fuerzas[editar]

La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa. Si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son no conservativas, entonces no se puede definir la energía potencial, como se verá a continuación. Una fuerza es conservativa cuando se cumple alguna de las siguientes propiedades:

  • El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido.
  • El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo.
  • Cuando el rotacional de la fuerza es cero.

Se puede demostrar que todas las propiedades son equivalentes (es decir, que cualquiera de ellas implica la otra). En estas condiciones, la energía potencial se define como:

U_B - U_A = -\int_A^B \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} .

Si las fuerzas no son conservativas no existirá en general una manera unívoca de definir la anterior integral. De la propiedad anterior se sigue que si la energía potencial es conocida, se puede obtener la fuerza a partir del gradiente de U:

 \mathbf{F} = - \nabla U .

También puede recorrerse el camino inverso: suponer la existencia una función energía potencial y definir la fuerza correspondiente mediante la fórmula anterior. Se puede demostrar que toda fuerza así definida es conservativa.

La forma funcional de la energía potencial depende de la fuerza de que se trate; así, para el campo gravitatorio (o eléctrico), el resultado del producto de las masas (o cargas) por una constante dividido por la distancia entre las masas (cargas), por lo que va disminuyendo a medida que se incrementa dicha distancia.

Energía potencial gravitatoria[editar]

La fuerza gravitatoria mantiene a los planetas en órbita en torno al sol.

La energía potencial gravitatoria es la energía asociada con la fuerza gravitatoria. Esta dependerá de la altura relativa de un objeto a algún punto de referencia, la masa, y la fuerza de la gravedad.

Por ejemplo, si un libro apoyado en una mesa es elevado, una fuerza externa estará actuando en contra de la fuerza gravitacional. Si el libro cae, el mismo trabajo que es empleado para levantarlo, será efectuado por la fuerza gravitacional.

Por esto, un libro a un metro del piso tiene menos energía potencial que otro a dos metros, o un libro de mayor masa a la misma altura.

Si bien la fuerza gravitacional varía con la distancia (altura), en las proximidades de la superficie de la Tierra la diferencia es muy pequeña como para ser considerada, por lo que se considera a la aceleración de la gravedad como una constante (9,8 m/s2) en cualquier parte. En cambio en la Luna, cuya gravedad es muy inferior, se generaliza el valor de 1,66 m/s2

Para estos casos en los que la variación de la gravedad es insignificante, se aplica la fórmula:

\ U = mgh

Donde \ U es la energía potencial, \ m la masa, \ g la aceleración de la gravedad, y \ h la altura.

Sin embargo, si la distancia (la variación de altitud) es importante, y por tanto la variación de la aceleración de la gravedad es considerable, se aplica la fórmula general:

 U = -\frac{GMm}{r}

Donde \scriptstyle U es la energía potencial, \scriptstyle r es la distancia entre la partícula material y el centro de la Tierra, \scriptstyle G la constante universal de la gravitación y \scriptstyle M la masa de la Tierra. Esta última es la fórmula que necesitamos emplear, por ejemplo, para estudiar el movimiento de satélites y misiles balísticos:

Cálculo simplificado[editar]

Cuando la distancia recorrida por un móvil, h, es pequeña, lo que sucede en la mayoría de las aplicaciones usuales (tiro parabólico, saltos de agua, etc.), podemos usar el desarrollo de Taylor a la anterior ecuación. Así si llamamos r a la distancia al centro de la Tierra, R al radio de la Tierra y h a la altura sobre la superficie de la Tierra, es decir, r = R + h tenemos:

 U_G(R+h) = -\frac{GMm}{(R+h)}
\approx -\frac{GMm}{R} +\frac{GM}{R^2}mh =
 -\frac{GMm}{R} + mgh

Donde hemos introducido la aceleración sobre la superficie:

 g= \frac{GM}{R^2} \approx 9,80665\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Por tanto la variación de la energía potencial gravitatoria al desplazarse un cuerpo de masa m desde una altura h1 hasta una altura h2 es:

 \Delta U_G \approx mg(h_2-h_1)


Dado que la energía potencial se anula cuando la distancia es infinita, frecuentemente se asigna energía potencial cero a la altura correspondiente a la del suelo, ya que lo que es de interés no es el valor absoluto de U, sino su variación durante el movimiento.

Así, si la altura del suelo es h1 = 0, entonces la energía potencial a una altura h2 = h será simplemente UG = mgh.


Energía potencial electrostática[editar]

La energía potencial electrostática de un sistema formado por dos partículas de cargas q y Q situadas a una distancia r una de la otra es igual a:

 U_E(r) = K \frac{Qq}{r}

Siendo K la constante de Coulomb, una constante universal cuyo valor aproximado es 9×109 (voltios·metro/culombio). K=1/(4\pi\epsilon) donde ε es la permitividad del medio. En el vacío ε = ε0 = 8,85x10-12 (culombio/voltio·metro)..

Una definición de energía potencial eléctrica sería la siguiente: cantidad de trabajo que se necesita realizar para acercar una carga puntual de masa nula con velocidad constante desde el infinito hasta una distancia r de una carga del mismo signo, la cual utilizamos como referencia. En el infinito la carga de referencia ejerce una fuerza nula.

Es importante no confundir la energía potencial electrostática con el potencial eléctrico, que es el trabajo por unidad de carga:

 V = \frac{U_E}{q}

Energía potencial elástica[editar]

Esta catapulta hace uso de la energía potencial elástica.

La energía elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna acumulada en el interior de un sólido deformable como resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.

Potencial armónico[editar]

El Potencial armónico (caso unidimensional), dada una partícula en un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke, como el caso de un muelle se puede calcular estimando el trabajo necesario para mover la partícula una distancia x:

U_e = -\int\vec{F}\cdot d\vec{x}

si es un muelle ideal cumpliría la ley de Hooke:

{F = -k x}\,

El trabajo desarrollado (y por tanto la energía potencial) que tendríamos sería:

U_e = -\int\vec{F}\cdot d\vec{x}=-\int {-k x}\, dx = \frac {1} {2} k x^2.

Las unidades están en julios. La k sería la constante elástica del muelle o del campo de fuerzas.

Energía de deformación[editar]

La energía de deformación (caso lineal): en este caso la función escalar que da el campo de tensiones es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen, f, que representa la energía de deformación. Para un sólido elástico lineal e isótropo, la energía potencial elástica en función de las deformaciones εij y la temperatura la energía libre de un cuerpo deformado viene dada por:

(1)\begin{cases} f(\epsilon_{ij},T) = \lambda(T) \left(\sum_{i=1}^{3}\epsilon_{ii}\right)^2 + 2\mu(T) \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{ij}^2 \\
f(\epsilon_{ij},T) =\lambda(T) \left(\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy} +\epsilon_{zz}\right)^2+ 2\mu(T) \left(\epsilon_{xx}+\epsilon_{xy}+ ... +\epsilon_{zy}+\epsilon_{zz}\right)^2 \end{cases}

Donde \lambda(T), \mu(T) \, son constantes elásticas llamadas coeficientes de Lamé, que pueden depender de la temperatura, y están relacionadas con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson mediante las relaciones algebraicas:

 \lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \qquad \mu=\frac{E}{2(1+\nu)}

A partir de esta expresión (1) del potencial termodinámico de energía libre pueden obtenerse las tensiones a partir de las siguientes relaciones termodinámicas:

 \sigma_{ij} = \left ( \frac{\partial f}{\partial \epsilon_{ij}} \right)_S = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left(\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{kk}\right)+\frac{E}{(1+\nu)} \epsilon_{ij}

Estas últimas ecuaciones se llaman ecuaciones de Lamé-Hooke y escritas más explícitamente en forma matricial tienen la forma:


\begin{pmatrix}
  \sigma_{xx}\\
  \sigma_{yy}\\  
  \sigma_{zz}\\
  \sigma_{xy}\\
  \sigma_{xz}\\  
  \sigma_{yz}
\end{pmatrix}
 =
\frac{E}{1+\nu}
\begin{pmatrix}
  1+\alpha & \alpha & \alpha & & & \\
  \alpha & 1+\alpha & \alpha & & & \\
  \alpha & \alpha & 1+\alpha & & & \\
  & & & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\
  & & & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\
  & & & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  \varepsilon_{xx}\\
  \varepsilon_{yy}\\  
  \varepsilon_{zz}\\
  \varepsilon_{xy}\\
  \varepsilon_{xz}\\  
  \varepsilon_{yz}
\end{pmatrix}

Donde

 \alpha:=\frac{\nu}{1-2\nu}
  • Energía de deformación (caso no lineal general), en el caso de materiales elásticos no lineales la energía de deformación puede definirse sólo en el caso de materiales hiperelásticos. Y en ese caso la energía elástica está estrechamente relacionada con el potencial hiperelástico a partir de la cual se deduce la ecuación constitutiva.

Véase también[editar]

Referencias[editar]