Ecuación de Slutsky

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En economía, la ecuación de Slutsky (o identidad de Slutsky), denominada a partir de Yevgeni Slutski (1880-1948), describe cambios en la demanda Marshalliana en relación a la demanda Hicksiana. Demuestra que los cambios en la demanda como consecuencia de cambios en el precio son el resultado de dos efectos:

  • Un efecto sustitución, resultado de un cambio en la tasa de sustitución entre dos bienes; y
  • Un efecto renta, el efecto del cambio en el precio resulta en un cambio en el poder adquisitivo del consumidor.


Cada elemento de la matriz de Slutsky viene dado por

{\partial x_i(p, w) \over \partial p_j} = {\partial h_i(p, u) \over \partial p_j} - {\partial x_i(p, w) \over \partial w } x_j(p, w),\,


donde h(p, u) es la demanda Hicksiana y x(p, w) es la demanda Marshalliana, a un nivel de precios p, un nivel de riqueza w y un nivel de utilidad u. El primer elemento representa el efecto sustitución, y el segundo elemento representa el efecto renta.[1]

La misma ecuación puede reescribirse como:

D_p x(p, w) = D_p h(p, u)- D_w x(p, w) x(p, w)^\top,\,

donde Dp es la derivada con respecto al precio y Dw es la derivada con respecto a la riqueza.

La ecuación D_p h(p, u) se conoce como la ecuación de Slutsky.

Derivación[editar]

Si bien existen diferentes maneras para derivar la ecuación de Slutsky, el siguiente método es generalmente considerado ser el más simple. Se comienza notando la relación h_i(p,u) = x_i (p, e(p,u)) donde  e(p,u) es la función de gasto. Diferenciando la ecuación anterior da lo siguiente:

 \frac{\partial h_i(p,u)}{\partial p_j} = \frac{\partial x_i(p,e(p,u))}{\partial p_j}  + \frac{\partial x_i (p,e(p,u))}{\partial e(p,u)} \times \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_j}

Haciendo uso del hecho de que  e(p,u) = w y

 \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_j} = h_j(p,u) = h_j(p, v(p,w)) = x_j(p,w) donde v(p,w) es la función de utilidad indirecta, puede sustituirse y reescribir la derivada anterior como la ecuación de Slutsky.

Referencias[editar]

  1. Nicholson, W. 2005. Microeconomic Theory. 10th edn. Mason, Ohio. Thomson Higher Education.