Discusión:Teorema de Cayley-Hamilton

En la demostración se dice que podemos interpretar (XI-A).B(X)= det(XI-A)I, como una igualdad de polinomios con coeficientes en el anillo de las matrices.

¿Pero por qué ha de ser cierta dicha igualdad en dicho anillo?

Dicha igualdad sí esta demostrado que es cierta para cualquier valor X perteneciente al anillo (eso incluye cualquier cuerpo) de los coeficientes de la matriz. Pero no veo que de ahí se infiera que sea cierta para el anillo de las matrices.

Sí veo claramente que la igualdad se puede interpretar como una igualdad de polinomios con coeficientes en el anillo de las matrices, y sabemos que es cierta cuando reemplazamos X por cualquier valor del anillo de los coeficientes de la matriz.

Y de ahí se puede demostrar el teorema que nos ocupa, teniendo presente que en general si dos polinomios con coeficientes matriciales son iguales para todos los valores de la indeterminada en el anillo de coeficientes, entonces coinciden coeficiente a coeficiente.

Ya que se establece una relación recursiva entre ellos que conduce fácilmente a ver que el polinomio det(XI-A), con coeficientes en el anillo de los coeficientes de la matriz produce la matriz nula cuando X es reemplazada en dicho polinomio por A.

Ciertamente, encontraría más elegante la demostración propuesta por el autor del artículo, pero para que fuera válida, sería preciso ver por qué la igualdad que nos ocupa es cierta no sólo cuando la variable es reemplazada por un elemento del anillo de coeficientes de la matriz, sino también cuando es reemplazada por un elemento del anillo de las matrices, o los elementos de un subanillo, ideal, etc., que contenga a A.

Bueno, no sigo insistiendo en el mismo tema. Eso es casi trivial, esta claro.........

Por supuesto que es trivial