Desigualdad de la suma de Chebyshov

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(Para la desigualdad utilizada en probabilidad, ver la Desigualdad de Bienaymé-Chebyshov)

La desigualdad de la suma de Chebyshov, debe su nombre al matemático ruso Pafnuti Chebyshov.

Formulación[editar]

La desigualdad de la suma de Chebyshov establece que si:

y

entonces:

Del mismo modo, si:

y

entonces:

[1]

Demostración[editar]

Considérese la suma:

Si las dos secuencias no se incrementan, entonces:

aj − ak y bj − bk

tienen el mismo signo para cualquier jk. Por lo tanto S ≥ 0.

Resolviendo los paréntesis, se deduce que:

donde:

Una demostración alternativa se puede obtener con el procedimiento de reordenación de desigualdad.

Versión continua[editar]

También hay una versión continua de la desigualdad de la suma Chebyshov:

Si f y g son funciones de variable real integrables en el intervalo [0,1], pero no crecientes, o ambas no decrecientes, entonces:

con la desigualdad invertida si una función es no creciente y la otra es no decreciente.

Referencias[editar]

  1. Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1988). Inequalities. Cambridge Mathematical Library. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9. MR 0944909.