Factorización de matrices

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En álgebra lineal la factorización de una matriz es la descomposición de la misma como producto de dos o más matrices según una forma canónica.

Según las aplicaciones de la factorización podemos distinguir los siguientes tipos de factorizaciones:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales[editar]

Las siguientes factorizaciones se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de determinantes e inversión de matrices.

Factorización LU[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización: , donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior
  • Notas: La factorización LU expresa el método de Gauss en forma matricial. En efecto, PA = LU donde P es una matriz de permutación. Los elementos de la diagonal principal de L son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz A sea invertible.
  • Resolución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b: primero se resuelve el sistema de ecuaciones Ly = b y después Ux = y.
  • Existencia: Una condición necesaria y suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.[1]
  • Métodos de cálculo: método de Crout que obtiene una matriz U cuyos elementos de la diagonal son todos 1. El método de Doolittle es una modificación del mismo.

Factorización [editar]

  • Aplicable a: una matriz simétrica A.
  • Factorización: donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y denota su matriz traspuesta. La factorización es única.
  • Existencia: Una condición suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
  • Notas: Si la matriz es definida positiva la factorización existe y es única siendo los elementos de la diagonal positivos.

Factorización de Cholesky[editar]

  • Aplicable a: una matriz simétrica definida positiva A
  • Factorización: , donde L es una matriz triangular inferior con entradas en la diagonal positivas.
  • Notas: La factorización siempre existe y es única.

Factorización QR o triangularización ortogonal[editar]

  • Aplicable a: una matriz A m por n.
  • Factorización: donde Q es una matriz ortogonal m por m, y R es una matriz triangular superior m por n.
  • Métodos de cálculo: La factorización QR puede calcularse mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a las columnas de A, mediante el uso de transformaciones de Householder y mediante transformaciones de Givens.
  • Notas: La factorización QR puede utilizarse para "resolver" el sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando el número de ecuaciones es distinto al de incógnitas.

Descomposición en valores singulares[editar]

  • Aplicable a: una matriz A m-por-n.
  • Factorización: , donde Σ es una matriz diagonal mxn, y U y V son matrices ortogonales mxm y nxn respectivamente, siendo la traspuesta de V. Los elementos de la diagonal de Σ son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero.
  • Notas: a la matriz , donde es igual a la matriz Σ reemplazando los valores singulares por sus recíprocos, se le llama pseudoinversa de A.

Otros tipos de factorizaciones[editar]

Diagonalización de una matriz[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización: A = CDC-1
  • Existencia:

Forma canónica de Jordan[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada B
  • Factorización:

Factorización de rango[editar]

  • Aplicable a: una matriz A de dimensiones
  • Factorización: , donde es una matriz y es una matriz

Factorización de Schur[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización:

Tridiagonalización[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada simétrica A
  • Factorización:

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]