Derivada covariante gauge

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

La derivada covariante gauge es una generalización de la derivada covariante utilizada en relatividad general. Si una teoría tiene simetrías gauge, significa que algunas de las propiedades físicas de ciertas ecuaciones no se modifican bajo aquellas transformaciones. Así mismo, la derivada covariante gauge es la derivada normal modificada de tal manera que se comporte como un verdadero operador vectorial, de modo que las ecuaciones escritas utilizando la derivada covariante preservan sus propiedades físicas bajo transformaciones gauge.

Dinámica de fluidos[editar]

En dinámica de fluidos, la derivada covariante gauge de un fluido se define como

donde es el campo vectorial de la velocidad de un fluido.

Teoría gauge[editar]

En teoría gauge, que estudia una clase particular de campos que tienen de importancia en la teoría de campos cuánticos, la derivada covariante en acoplamiento mínimo se define como

donde es el cuadrivector de potencial electromagnético.

(Nota que esto es válido para una signatura en la métrica de Minkowski, la que se emplea en este artículo. Para el menos pasa a ser un más.)

Construcción de la derivada covariante a través del requisito de covarianza gauge[editar]

Considerar una transformación gauge genérica (posiblemente no-abeliana) dada por

donde es un elemento del álgebra de Lie asociada con el grupo de Lie de transformaciones, y se puede expresar en términos de los generadores como .

La derivada parcial transforma consiguientemente como

y por tanto un término cinético de la forma no es invariante bajo esta transformación.

Podemos introducir la derivada covariante en este contexto como generalización de la derivada parcial que transforma covariantemente bajo la transformación gauge, esto es, un objeto que satisface

que en términos de operadores toma la forma

Así pues calculamos (omitiendo las dependencias explícitas en por brevedad)

,

donde

El requisito para que transforme covariantemente se traduce ahora en la condición

Para obtener una expresión explícita hacemos el Ansatz

de donde se sigue que

y

que es de la forma

Así que hemos encontrado un objeto tal que

Electrodinámica cuántica[editar]

Si una transformación gauge está dada por

y para el potencial gauge

entonces transforma como

,

y transforma como

y como

de modo que

y en el lagrangiano de la electrodinámica cuántica es por tanto invariante gauge.

Por otro lado, la derivada no covariante no preservaría la simetría gauge del lagrangiano, ya que

.

Cromodinámica cuántica[editar]

En cromodinámica cuántica, la derivada covariante gauge es[1]

donde es la constante de acoplamiento, es el campo gauge gluónico, para los ocho gluones diferentes , es un espinor de Dirac de cuatro componentes, y es una de las ocho matrices de Gell-Mann.

Modelo estándar[editar]

La derivada covariante en el Modelo Estándar puede ser expresada en la forma siguiente:[2]

donde es la hipercarga, el bosón gauge del grupo , las matrices de Pauli, los bosones gauge del grupo quiral (véase modelo electrodébil), las matrices de Gell-Mann, los gluones y , y las correspondientes constantes de acoplamiento.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html
  2. See e.g. eq. 3.116 in C. Tully, Elementary Particle Physics in a Nutshell, 2011, Princeton University Press.