Curva del dragón

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Proceso de formación de este fractal.

La curva del dragón es un fractal que se construye siguiendo los siguientes pasos:

  • A partir de un segmento, se construye el triángulo rectángulo e isósceles, como lo muestra las dos primeras figuras. Luego se borra el segmento inicial.
  • Se repite un sinfín de veces el proceso de remplazar un segmento por otros dos para cada línea de la curva, alternando siempre la orientación de los triángulos.

Construcción[editar]

La siguiente figura muestra los trece primeros pasos:

formación de la curva del dragón

Agrandando la imagen y después de una veintena de iteraciones, se obtiene la curva del dragón:

curva del dragón

Se suele citar a Martin Gardner como su autor. [1]

Propiedades[editar]

Esta curva llega a rellenar completamente una parte del plano, por lo que su dimensión fractal debe ser 2. El cálculo de su dimensión se hace como en el copo de nieve de Koch, pues las construcciones de ambas curvas son similares.

En el primer paso de la construcción, se observa que a partir del segmento inicial se obtienen los otros catetos del primer triángulo mediante dos semejanzas (una es indirecta) de razón , de centros los extremos del segmento, y de ángulos y radianes (o sea, 45°). Llamemos y estas dos similitudes. Por construcción misma, la -ésima figura obtenida en el proceso, , es la reunión de las imágenes por y de la figura anterior :

Tomando el límite de esta relación (n tiende hacia +∞), y llamando la curva del dragón, obtenemos:

Es decir, es la reunión de dos copias de sí misma, a escala , como se puede ver en la figura siguiente:

homotecias internas del dragón

Por tanto, si agrandamos D con una homotecia de razón , obtenemos dos veces D, a la misma escala.

Si D es de dimensión d, su "volumen" es multiplicado por por esta homotecia. Aquí tenemos, pues, , y, por tanto, d = 2.

La curva del dragón tiene además la propiedad de que se puede pavimentar el plano con ella, es decir rellenarlo sin dejar huecos y sin que se sobrepongan dos o más piezas:

pavimento del plano con dragones

Referencias[editar]

  1. González Padilla, Andrés (2 de abril de 2014). «El ADN de la curva del Dragón. Una aproximación directa con MATLAB». Paradigmas. Consultado el 8 de enero de 2015. 

Enlaces externos[editar]