Cubo

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Cubo
Familia: sólidos platónicos
Hexahedron.svg
Imagen del sólido
Caras 6
Polígonos que forman las caras Cuadrados
Aristas 12
Vértices 8
Grupo de simetría Octaédrico (Oh)
Poliedro dual Octaedro

Cubo o hexaedro regular es un poliedro limitado por seis caras cuadradas congruentes. Es uno de los denominados sólidos platónicos.

Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectangular, (brevemente ortoedro [1]​ ) pues todas sus caras son cuadrados y paralelos dos a dos. Incluso, se puede entender como un prisma recto, cuya base es un cuadrado y su altura equivalente al lado de la base.

El hexaedro regular, al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de Euler para poliedros, resumida en la fórmula C+V = A+2, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (8+6=12+2).

Elementos[editar]

Modelo 3D de un cubo
  • Cara viene a ser cada una de las regiones cuadradas que limitan el cubo. En total son seis. Cada par de caras tienen un lado común. Cada cara tiene otras cuatro caras adyacentes, con lados comunes, excepto con una que se llama cara opuesta. Hay tres pares de caras opuestas. Hay caras consecutivas de modo que algunas de sus aristas son lados consecutivos de un mismo cuadrado cara; las caras consecutivas, que vienen en juego de 4, están encerradas entre dos caras paralelas; imaginando una sala las caras consecutivas serían las paredes de la sala.
  • Arista es un lado común a dos caras. En total hay doce aristas del cubo. Para cada arista hay otras aristas que son concurrentes, paralelas o que se cruzan.
  • Vértice. Tres caras (respectivamente tres aristas) tiene un punto común que se llama vértice del cubo. Por todo, hay ocho vértices.
  • Diagonal. Sean dos caras opuestas que permiten definir una correspondencia biyectiva. Del vértice de la primera cara se traza un segmento al vértice opuesto de su homólogo en la cara opuesta. Dicho segmento se llama diagonal del cubo. En total hay cuatro diagonales del cubo.Se cortan en un punto único.
  • Centro es la intersección de las diagonales del cubo.También es el baricentro de la distribución de carga superficial es uniforme. Es centro de simetría.

Medidas y simetría[editar]

Volumen[editar]

Dado un cubo de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Área[editar]

Y el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

Considerado como prisma tiene área lateral:

AL = 4Ac = 4×a2

Longitud de la diagonal[editar]

Se verifica la ecuación d2= 3d2. De donde

d =30.5×a [2]

Optimización[editar]

Entre los ortoedros de área total constante el cubo es el que tiene mayor volumen. Si se conoce el área total = k, entonces la arista del cubo es a = (k÷6)0.5 [3]

Simetría[editar]

Animación de uno de los desarrollos del Cubo.

Un hexaedro regular (o cubo) tiene 3 ejes de simetría de orden cuatro: las rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio; cuatro ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen los centros de los vértices opuestos;6 ejes de simetría de orden 2 que unen los centros de las aristas opuestos; nueve planos de simetría; tres paralelos a cada par de caras paralelas por el punto medio de las aristas que las unen, y seis formados por los pares de aristas opuestas; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 48: 2x(3x4+6x2).

Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría octaédricos de segunda base, el denominado Oh según la notación de Schöenflies.

Poliedro conjugado[editar]

  • El poliedro conjugado de un hexaedro regular de arista a es un octaedro regular de arista b, tal que:

Relación con la esfera y el octoedro[editar]

Esfera inscrita

En cualquier cubo se puede inscribir una esfera, cuyo centro coincide con el del cubo y su radio es igual a la mitad de la arista del cubo.

radio de la esferas inscrita es r = a÷2; y el volumen de esta esfera es Ve = πa3/6, a = arista del cubo
Esfera circunscrita

Cualquier cubo puede inscribirse en una esfera, de modo que los centros de los sólidos sean el mismo punto. En este caso a la esfera se nombra esfera circunscrita al cubo.

radio de la esfera circunscrita es R = d÷2, y el volumen es Ve = πd3/6, d = diagonal del cubo inscrito.
Octoedro inscrito

En un cubo se puede inscribir un octoedro regular cuyos cuatro vértices están en cuatro caras consecutivas y los otros dos en caras opuestas y perpendiculares a las anteriores.

Si a = arista del cubo, resulta el volumen del octoedro, V = a3÷4 . [4]

Topología del cubo[editar]

Convexidad

En principio, un cubo es un sólido convexo; esto significa que respecto a un plano que contiene a cualquiera de sus caras el cubo queda en un uno solo de los semiespacios que determina dicho plano. O de otra forma, es posible trazar un plano que no contenga punto alguno del cubo por la convexidad.

Interior

Tomemos tres sendos puntos en tres aristas perpendiculares a una de las caras y tracemos un plano por estos puntos. Dicho plano al intersecar al cubo determina un cuadrilátero. Cualquier punto del cuadrilátero se llama punto interior del cubo y el conjunto de todos los puntos interiores se denomina Interior del cubo. [5]

Frontera

Ningún punto de cara cualquiera está en el interior del cubo, y todos estos puntos forma un conjunto llamado frontera, de tal manera que la unión de las seis caras son la frontera del cubo.

Exterior

Un punto que no está en la frontera ni en el interior del cubo se llama punto exterior y el conjunto de todos estos puntos es el exterior del cubo. La unión del interior, exterior y frontera del cubo es igual a todo el espacio. Además estos conjuntos son disjuntos.

Abierto

Un conjunto de puntos del espacio se llama abierto si para cualquier punto de él se puede trazar una esfera de tal manera que la esfera quede contenida totalmente en dicho conjunto. Tanto el interior y el exterior de un cubo son abiertos. [6]

Conexidad

El cubo es una figura conexa, esto es, de una sola pieza. Pues no puede haber dos abiertos de intersección vacía y su unión sea igual al cubo.

Hipercubo[editar]

Dados típicamente cúbicos: estilo occidental, estilo asiático y dados usados en casinos.

El cubo en un espacio de cuatro dimensiones se denomina hipercubo o bien teseracto.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Diccionario de lengua española
  2. George Polya. Cómo resolver problemas ( trata de la diagonal de un ortoedro)
  3. Adaptación de Métodos de resolución y demostración de desigualdades de Valeri Pávlovich SUPRUN/ 2015, Moscú
  4. Para calcular se considira como una bipirámide cuadrada
  5. Topología de José Tola Pasquel.
  6. Milton Donaire: Formas y números, ediciones de UCH, Lima

Enlaces externos[editar]