Constante de Conway

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Soluciones del polinomio de Conway en el plano complejo.

La constante de Conway es una constante matemática ligada a la tasa de crecimiento del número de cifras de una sucesión conocida como desintegración audioactiva (en inglés audioactive decay) o Look-and-Say ("Mira y di"). En esta sucesión, cada término se obtiene agrupando las cifras iguales del anterior y recitándolas. Por ejemplo, si x_0=1 ("un uno"), los siguientes términos serán:[1]

x_1=11 ("dos unos --> 21")
x_2=21 ("un dos un uno --> 1211")
x_3=1211 ("un uno un dos dos unos --> 111221")
x_4=111221 ("tres unos dos doses un uno --> 312211")
x_5=312211 ("un tres un uno dos doses dos unos --> 13112221")
etc.

El proceso es similar al empleado en el sistema de compresión Run-length encoding.

Independientemente del término inicial x_o elegido (con la única salvedad del 22), la sucesión diverge y la razón entre el número de cifras de x_n y x_{n-1} tiende a un valor fijo que es la constante de Conway, \lambda \approx 1,303577269 .[2] Esta constante es un número irracional algebraico, y de hecho es la única solución real positiva de la siguiente ecuación polinómica de grado 71:

 x^{71}-x^{69}-2x^{68}-x^{67}+2x^{66}+2x^{65}+x^{64}-x^{63}-x^{62}-x^{61}-x^{60}-x^{59}+
 2x^{58}+5x^{57}+3x^{56}-2x^{55}-10x^{54}-3x^{53}-2x^{52}+6x^{51}+6x^{50}+x^{49}+9x^{48}-3x^{47}-
 7x^{46}-8x^{45}-8x^{44}+10x^{43}+6x^{42}+8x^{41}-5x^{40}-12x^{39}+7x^{38}-7x^{37}+7x^{36}+x^{35}-
 3x^{34}+10x^{33}+x^{32}-6x^{31}-2x^{30}-10x^{29}-3x^{28}+2x^{27}+9x^{26}-3x^{25}+14x^{24}-8x^{23}-
 7x^{21}+9x^{20}+3x^{19}-4x^{18}-10x^{17}-7x^{16}+12x^{15}+7x^{14}+2x^{13}-12x^{12}-4x^{11}-
 2x^{10}+5x^9+x^7-7x^6+7x^5-4x^4+12x^3-6x^2+3x-6=0

Al tomar 22 ("dos doses") como término inicial, la sucesión es degenerada porque todos los términos siguientes volverán a ser 22.

«Desintegración audioactiva»[editar]

John Conway calificó esta sucesión de «desintegración audioactiva» (audioactive decay), un juego de palabras sobre la desintegración radiactiva, poniendo énfasis en el comportamiento de los términos de la sucesión. Conway mostró que, a partir de un determinado punto, casi todos los términos de la sucesión pueden descomponerse en 92 subtérminos, a los que llamó elementos, por analogía con los elementos químicos. Estos elementos funcionan como entidades independientes, no interactúan con los demás dígitos del término y se descomponen en otro u otros elementos en el siguiente término de la sucesión.

Por ejemplo, el elemento más simple, llamado hidrógeno, es la secuencia estable 22. El manganeso, 3113322112, da lugar a 132123222112, que a su vez se descompone en los elementos prometio (132) y sodio (123222112).

La lista de elementos está confeccionada de tal manera que, empezando por el último elemento, el uranio (3) cada uno de los elementos anteriores hace su aparición a lo largo de sucesivas iteraciones hasta llegar al primero, el hidrógeno, al cabo de 91 iteraciones.

Z Elemento Proviene de Se descompone en Desarrollo Longitud
1 Hidrógeno 7 elementos: H, He, Sc, Ga, Zr, Ce, Ta 1 elemento: H (estable) 22 2
2 Helio 1 elemento: Li 5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, Li 13112221133211322112211213322112 32
3 Litio 2 elementos: He, Be 1 elemento: He 312211322212221121123222112 27
4 Berilio 1 elemento: B 3 elementos: Ge, Ca, Li 111312211312113221133211322112211213322112 42
5 Boro 1 elemento: C 1 elemento: Be 1321132122211322212221121123222112 34
6 Carbono 1 elemento: N 1 elemento: B 3113112211322112211213322112 28
7 Nitrógeno 1 elemento: O 1 elemento: C 111312212221121123222112 24
8 Oxígeno 1 elemento: F 1 elemento: N 132112211213322112 18
9 Flúor 1 elemento: Ne 1 elemento: O 31121123222112 14
10 Neón 1 elemento: Na 1 elemento: F 111213322112 12
11 Sodio 2 elementos: Mg, As 1 elemento: Ne 123222112 9
12 Magnesio 1 elemento: Al 2 elementos: Pm, Na 3113322112 10
13 Aluminio 1 elemento: Si 1 elemento: Mg 1113222112 10
14 Silicio 2 elementos: P, Mn 1 elemento: Al 1322112 7
15 Fósforo 1 elemento: S 2 elementos: Ho, Si 311311222112 12
16 Azufre 1 elemento: Cl 1 elemento: P 1113122112 10
17 Cloro 1 elemento: Ar 1 elemento: S 132112 6
18 Argón 1 elemento: K 1 elemento: Cl 3112 4
19 Potasio 1 elemento: Ca 1 elemento: Ar 1112 4
20 Calcio 13 elementos: He, Be, Sc, Ga (2 veces), Zr, Ru, Te, Ce, Sm, Gd, Tm, Ta, Re 1 elemento: K 12 2
21 Escandio 1 elemento: Ti 5 elementos: Ho, Pa, H, Ca, Co 3113112221133112 16
22 Titanio 1 elemento: V 1 elemento: Sc 11131221131112 14
23 Vanadio 1 elemento: Cr 1 elemento: Ti 13211312 8
24 Cromo 1 elemento: Mn 1 elemento: V 31132 5
25 Manganeso 1 elemento: Fe 2 elementos: Cr, Si 111311222112 12
26 Hierro 1 elemento: Co 1 elemento: Mn 13122112 8
27 Cobalto 5 elementos: Sc, Ni, Ce, Tm, Gd 1 elemento: Fe 32112 5
28 Níquel 1 elemento: Cu 2 elementos: Zn, Co 11133112 8
29 Cobre 1 elemento: Zn 1 elemento: Ni 131112 6
30 Zinc 3 elementos: Ni, Ga, Sm 1 elemento: Cu 312 3
31 Galio 1 elemento: Ge 6 elementos: Eu, Ca, Ac, H, Ca, Zn 13221133122211332 17
32 Germanio 3 elementos: Be, As, Re 2 elementos: Ho, Ga 31131122211311122113222 23
33 Arsénico 1 elemento: Se 2 elementos: Ge, Na 11131221131211322113322112 26
34 Selenio 1 elemento: Br 1 elemento: As 13211321222113222112 20
35 Bromo 1 elemento: Kr 1 elemento: Se 3113112211322112 16
36 Kriptón 1 elemento: Rb 1 elemento: Br 11131221222112 14
37 Rubidio 1 elemento: Sr 1 elemento: Kr 1321122112 10
38 Estroncio 1 elemento: Y 1 elemento: Rb 3112112 7
39 Itrio 1 elemento: Zr 2 elementos: Sr, U 1112133 7
40 Zirconio 1 elemento: Nb 4 elementos: Y, H, Ca, Tc 12322211331222113112211 23
41 Niobio 1 elemento: Mo 2 elementos: Er, Zr 11131221133221131112211312221 29
42 Molibdeno 1 elemento: Tc 1 elemento: Nb 13211322211312113211 20
43 Tecnecio 2 elementos: Zr, Ru 1 elemento: Mo 311322113212221 15
44 Rutenio 1 elemento: Rh 3 elementos: Eu, Ca, Tc 132211331222113112211 21
45 Rodio 1 elemento: Pd 2 elementos: Ho, Ru 311311222113111221131221 24
46 Paladio 1 elemento: Ag 1 elemento: Rh 111312211312113211 18
47 Plata 1 elemento: Cd 1 elemento: Pd 132113212221 12
48 Cadmio 1 elemento: In 1 elemento: Ag 3113112211 10
49 Indio 1 elemento: Sn 1 elemento: Cd 11131221 8
50 Estaño 1 elemento: Sb 1 elemento: In 13211 5
51 Antimonio 1 elemento: Te 2 elementos: Pm, Sn 3112221 7
52 Telurio 1 elemento: I 3 elementos: Eu, Ca, Sb 1322113312211 13
53 Yodo 1 elemento: Xe 2 elementos: Ho, Te 311311222113111221 18
54 Xenón 1 elemento: Cs 1 elemento: I 11131221131211 14
55 Cesio 1 elemento: Ba 1 elemento: Xe 13211321 8
56 Bario 1 elemento: La 1 elemento: Cs 311311 6
57 Lantano 1 elemento: Ce 1 elemento: Ba 11131 5
58 Cerio 1 elemento: Pr 4 elementos: La, H, Ca, Co 1321133112 10
59 Praseodimio 1 elemento: Nd 1 elemento: Ce 31131112 8
60 Neodimio 1 elemento: Pm 1 elemento: Pr 111312 6
61 Prometio 5 elementos: Mg, Sb, Sm, Er, Bi 1 elemento: Nd 132 3
62 Samario 1 elemento: Eu 3 elementos: Pm, Ca, Zn 311332 6
63 Europio 4 elementos: Ga, Ru, Te, Gd 1 elemento: Sm 1113222 7
64 Gadolinio 1 elemento: Tb 3 elementos: Eu, Ca, Co 13221133112 11
65 Terbio 1 elemento: Dy 2 elementos: Ho, Gd 3113112221131112 16
66 Disprosio 1 elemento: Ho 1 elemento: Tb 111312211312 12
67 Holmio 8 elementos: P, Sc, Ge, Rh, I, Tb, Er, Rn 1 elemento: Dy 1321132 7
68 Erbio 2 elementos: Nb, Tm 2 elementos: Ho, Pm 311311222 9
69 Tulio 1 elemento: Yb 3 elementos: Er, Ca, Co 11131221133112 14
70 Ytterbio 1 elemento: Lu 1 elemento: Tm 1321131112 10
71 Lutecio 1 elemento: Hf 1 elemento: Yb 311312 6
72 Hafnio 2 elementos: He, Ta 1 elemento: Lu 11132 5
73 Tántalo 1 elemento: W 5 elementos: Hf, Pa, H, Ca, W 13112221133211322112211213322113 32
74 Wolframio 2 elementos: Ta, Re 1 elemento: Ta 312211322212221121123222113 27
75 Renio 1 elemento: Os 3 elementos: Ge, Ca, W 111312211312113221133211322112211213322113 42
76 Osmio 1 elemento: Ir 1 elemento: Re 1321132122211322212221121123222113 34
77 Iridio 1 elemento: Pt 1 elemento: Os 3113112211322112211213322113 28
78 Platino 1 elemento: Au 1 elemento: Ir 111312212221121123222113 24
79 Oro 1 elemento: Hg 1 elemento: Pt 132112211213322113 18
80 Mercurio 1 elemento: Tl 1 elemento: Au 31121123222113 14
81 Talio 1 elemento: Pb 1 elemento: Hg 111213322113 12
82 Plomo 1 elemento: Bi 1 elemento: Tl 123222113 9
83 Bismuto 1 elemento: Po 2 elementos: Pm, Pb 3113322113 10
84 Polonio 1 elemento: At 1 elemento: Bi 1113222113 10
85 Astato 1 elemento: Rn 1 elemento: Po 1322113 7
86 Radón 1 elemento: Fr 2 elementos: Ho, At 311311222113 12
87 Francio 1 elemento: Ra 1 elemento: Rn 1113122113 10
88 Radio 1 elemento: Ac 1 elemento: Fr 132113 6
89 Actinio 2 elementos: Ga, Th 1 elemento: Ra 3113 4
90 Torio 1 elemento: Pa 1 elemento: Ac 1113 4
91 Protactinio 4 elementos: He, Sc, Ta, U 1 elemento: Th 13 2
92 Uranio 1 elemento: Y 1 elemento: Pa 3 1

Referencias[editar]

  1. (sucesión A005150 en OEIS)
  2. John Conway y Richard Guy - The Book of Numbers, página 209 (en inglés)