Constante de Bruijn-Newman

La constante de Bruijn-Newman, denotada por $\Lambda$ y nombrada así por Nicolaas Govert de Bruijn y Charles M. Newman, es una constante matemática definida a través de los ceros de cierta función $H:\mathbb {R} \times \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ , donde consideramos a $\lambda$ como la variable real y a $z$ como la variable compleja . Específicamente se define

H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)du

,

dónde $\Phi :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ es

\Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}

la cual decae super -exponencialmente. Y de esta forma definimos $\Lambda$ como el único número real con la propiedad de que $H(\lambda ,\cdot )$ tiene solamente ceros reales si y solo si $\lambda \geq \Lambda$ .

La constante $\Lambda$ está estrechamente relacionada con la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann: dado que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que todos los ceros de $H(0,\cdot )$ son reales, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que $\Lambda$ .^[1] Brad Rodgers y Terence Tao demostraron que $\Lambda <0$ no puede ser cierto, por lo que la hipótesis de Riemann es equivalente a $\Lambda =0$ .^[2] Posteriormente, Alexander Dobner proporcionó una prueba simplificada del resultado de Rodgers-Tao.

Historia[editar]

De Bruijn demostró en 1950 que $H(\lambda ,\cdot )$ solo tiene ceros reales si $\lambda \geq {\frac {1}{2}}$ , y además, que si $H(\lambda ,\cdot )$ tiene solo ceros reales para algún $\lambda$ , $H(\lambda ,\cdot )$ también tiene solo ceros reales si $\lambda$ se reemplaza por cualquier valor mayor.^[3] Newman demostró en 1976 la existencia de una constante $\Lambda$ para la cual se cumple la afirmación "si y solo si"; y esto implica entonces que $\Lambda$ es único. Newman también conjeturó que $\Lambda \geq 0$ .^[4]

Cotas Superiores[editar]

El límite superior de De Bruijn de $\Lambda \leq 1/2$ no mejoró hasta 2008, cuando Ki, Kim y Lee demostraron $\Lambda <1/2$ , haciendo estricta la desigualdad .^[5]

En diciembre de 2018, el proyecto 15th Polymath mejoró el límite a $\Lambda \leq 0,22$ .^[6]^[7]^[8] Se envió un manuscrito del trabajo de Polymath a arXiv a fines de abril de 2019, y se publicó en la revista Research In the Mathematical Sciences en agosto de 2019.^[9]

Este límite fue mejorado ligeramente en abril de 2020 por Platt y Trudgian para $\Lambda \leq 0.2$ .^[10]

Cotas inferiores a través del tiempo[editar]

Límites inferiores históricos
Año	Límite inferior en $\Lambda$	Autores
1987	−50^[11]	Csordas, G.; Norfolk, TS; Varga, RS
1990	−5^[12]	Te Riele, HJJ
1992	−0.385^[13]	Norfolk, TS; Ruttán, A.; Varga, RS
1991	−0.0991^[14]	Csordas, G.; Ruttán, A.; Varga, RS
1993	−5,895 ×10⁻⁹^[15]	Csordas, G.; Odlyzko, AM; Smith, W.; Varga, RS
1994	−4,379 ×10⁻⁶^[16]	Csordas, George; Smith, Wayne; Varga, Richard S.
2000	−2,7 ×10⁻⁹^[17]	Odlyzko, AM
2011	−1,1 ×10⁻¹¹^[18]	Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patricio
2018	0^[2]	Rogers, Brad; Tao, Terencio

Referencias[editar]

↑ «The De Bruijn-Newman constant is non-negative». 19 de enero de 2018. Consultado el 19 de enero de 2018. (announcement post)
↑ ^a ^b Rodgers, Brad; Tao, Terence (2020). «The de Bruijn–Newman Constant is Non-Negative». Forum of Mathematics, Pi (en inglés) 8: e6. ISSN 2050-5086. doi:10.1017/fmp.2020.6.
↑ de Bruijn, N.G. (1950). «The Roots of Triginometric Integrals». Duke Math. J. 17 (3): 197-226. doi:10.1215/s0012-7094-50-01720-0.
↑ Newman, C.M. (1976). «Fourier Transforms with only Real Zeros». Proc. Amer. Math. Soc. 61 (2): 245-251. doi:10.1090/s0002-9939-1976-0434982-5.
↑ Haseo Ki and Young-One Kim and Jungseob Lee (2009), «On the de Bruijn–Newman constant», Advances in Mathematics 222 (1): 281-306, ISSN 0001-8708, doi:10.1016/j.aim.2009.04.003 . (discussion).
↑ D.H.J. Polymath (20 de diciembre de 2018), Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann $\xi$ -function, and an upper bound for the de Bruijn-Newman constant, consultado el 23 de diciembre de 2018 .
↑ Going below $\Lambda \leq 0.22?$ , 4 de mayo de 2018 .
↑ Zero-free regions .
↑ Polymath, D.H.J. (2019), «Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann ξ function, and a new upper bound for the de Bruijn-Newman constant», Research in the Mathematical Sciences 6 (3), Bibcode:2019arXiv190412438P, doi:10.1007/s40687-019-0193-1 .
↑ Platt, Dave; Trudgian, Tim (2021). «The Riemann hypothesis is true up to 3·1012». Bulletin of the London Mathematical Society 53 (3): 792-797. arXiv:2004.09765. doi:10.1112/blms.12460. (preprint)
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↑ te Riele, H. J. J. (1 de diciembre de 1990). «A new lower bound for the de Bruijn-Newman constant». Numerische Mathematik (en inglés) 58 (1): 661-667. ISSN 0945-3245. doi:10.1007/BF01385647.
↑ Norfolk, T. S.; Ruttan, A.; Varga, R. S. (1992). «A Lower Bound for the de Bruijn-Newman Constant Λ. II». En Gonchar, A. A., ed. Progress in Approximation Theory. Springer Series in Computational Mathematics (en inglés) (New York, NY: Springer) 19: 403-418. ISBN 978-1-4612-2966-7. doi:10.1007/978-1-4612-2966-7_17.
↑ Csordas, G.; Ruttan, A.; Varga, R. S. (1 de junio de 1991). «The Laguerre inequalities with applications to a problem associated with the Riemann hypothesis». Numerical Algorithms (en inglés) 1 (2): 305-329. Bibcode:1991NuAlg...1..305C. ISSN 1572-9265. doi:10.1007/BF02142328.
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↑ Csordas, George; Smith, Wayne; Varga, Richard S. (1 de marzo de 1994). «Lehmer pairs of zeros, the de Bruijn-Newman constant Λ, and the Riemann Hypothesis». Constructive Approximation (en inglés) 10 (1): 107-129. ISSN 1432-0940. doi:10.1007/BF01205170.
↑ Odlyzko, A.M. (2000). «An improved bound for the de Bruijn–Newman constant». Numerical Algorithms 25 (1): 293-303. Bibcode:2000NuAlg..25..293O. doi:10.1023/A:1016677511798.
↑ Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patrick (2011). «An improved lower bound for the de Bruijn–Newman constant». Mathematics of Computation 80 (276): 2281-2287. doi:10.1090/S0025-5718-2011-02472-5.

Enlaces externos[editar]

Weisstein, Eric W. «de Bruijn–Newman Constant». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

Datos: Q2248459

[tao2-1] «The De Bruijn-Newman constant is non-negative». 19 de enero de 2018. Consultado el 19 de enero de 2018. (announcement post)

[:0-2] Rodgers, Brad; Tao, Terence (2020). «The de Bruijn–Newman Constant is Non-Negative». Forum of Mathematics, Pi (en inglés) 8: e6. ISSN 2050-5086. doi:10.1017/fmp.2020.6.

[3] Bruijn, N.G. (1950). «The Roots of Triginometric Integrals». Duke Math. J. 17 (3): 197-226. doi:10.1215/s0012-7094-50-01720-0.

[4] Newman, C.M. (1976). «Fourier Transforms with only Real Zeros». Proc. Amer. Math. Soc. 61 (2): 245-251. doi:10.1090/s0002-9939-1976-0434982-5.

[5] Haseo Ki and Young-One Kim and Jungseob Lee (2009), «On the de Bruijn–Newman constant», Advances in Mathematics 222 (1): 281-306, ISSN 0001-8708, doi:10.1016/j.aim.2009.04.003 . (discussion).

[6] D.H.J. Polymath (20 de diciembre de 2018), Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann $\xi$ -function, and an upper bound for the de Bruijn-Newman constant, consultado el 23 de diciembre de 2018 .

[7] Going below $\Lambda \leq 0.22?$ , 4 de mayo de 2018 .

[8] Zero-free regions .

[Polymath3-9] Polymath, D.H.J. (2019), «Effective approximation of heat flow evolution of the Riemann ξ function, and a new upper bound for the de Bruijn-Newman constant», Research in the Mathematical Sciences 6 (3), Bibcode:2019arXiv190412438P, doi:10.1007/s40687-019-0193-1 .

[Platt+Trudgian-10] Platt, Dave; Trudgian, Tim (2021). «The Riemann hypothesis is true up to 3·1012». Bulletin of the London Mathematical Society 53 (3): 792-797. arXiv:2004.09765. doi:10.1112/blms.12460. (preprint)

[11] Csordas, G.; Norfolk, T. S.; Varga, R. S. (1 de septiembre de 1987). «A low bound for the de Bruijn-newman constant Λ». Numerische Mathematik (en inglés) 52 (5): 483-497. ISSN 0945-3245. doi:10.1007/BF01400887.

[12] te Riele, H. J. J. (1 de diciembre de 1990). «A new lower bound for the de Bruijn-Newman constant». Numerische Mathematik (en inglés) 58 (1): 661-667. ISSN 0945-3245. doi:10.1007/BF01385647.

[13] Norfolk, T. S.; Ruttan, A.; Varga, R. S. (1992). «A Lower Bound for the de Bruijn-Newman Constant Λ. II». En Gonchar, A. A., ed. Progress in Approximation Theory. Springer Series in Computational Mathematics (en inglés) (New York, NY: Springer) 19: 403-418. ISBN 978-1-4612-2966-7. doi:10.1007/978-1-4612-2966-7_17.

[14] Csordas, G.; Ruttan, A.; Varga, R. S. (1 de junio de 1991). «The Laguerre inequalities with applications to a problem associated with the Riemann hypothesis». Numerical Algorithms (en inglés) 1 (2): 305-329. Bibcode:1991NuAlg...1..305C. ISSN 1572-9265. doi:10.1007/BF02142328.

[15] Csordas, G.; Odlyzko, A.M.; Smith, W.; Varga, R.S. (1993). «A new Lehmer pair of zeros and a new lower bound for the De Bruijn–Newman constant Lambda». Electronic Transactions on Numerical Analysis 1: 104-111. Consultado el 1 de junio de 2012.

[16] Csordas, George; Smith, Wayne; Varga, Richard S. (1 de marzo de 1994). «Lehmer pairs of zeros, the de Bruijn-Newman constant Λ, and the Riemann Hypothesis». Constructive Approximation (en inglés) 10 (1): 107-129. ISSN 1432-0940. doi:10.1007/BF01205170.

[17] Odlyzko, A.M. (2000). «An improved bound for the de Bruijn–Newman constant». Numerical Algorithms 25 (1): 293-303. Bibcode:2000NuAlg..25..293O. doi:10.1023/A:1016677511798.

[18] Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patrick (2011). «An improved lower bound for the de Bruijn–Newman constant». Mathematics of Computation 80 (276): 2281-2287. doi:10.1090/S0025-5718-2011-02472-5.

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