Conjunto independiente

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El (inesperadamente asimétrico) conjunto de 9 vértices azules es un conjunto independiente maximal para este grafo de 24 vértices.

En teoría de grafos, un conjunto independiente o estable es un conjunto de vértices en un grafo tal que ninguno de sus vértices es adyacente a otro. Es decir, es un conjunto V de vértices tal que para ningún par de ellos existe alguna arista que los conecten. En otras palabras, cada arista en el grafo contiene a lo más un vértice en V. El tamaño de un conjunto independiente es el número de vértices que contiene.

Un conjunto independiente maximal es un conjunto independiente tal que añadiendo cualquier otro vértice al conjunto, éste deja de ser independiente.

Definición formal[editar]

Dado un grafo G, un subconjunto de vértices H ⊂ V(G) se llama conjunto idependiente si no hay dos vértices en S que sean adyacentes.

El número de independencia de G es el tamaño de un conjunto independiente más grande, y se denota por α(G).[1]

Computabilidad[editar]

El conjunto independiente máximo corresponde al mayor conjunto independiente definible sobre un grafo dado. El problema de encontrar un conjunto con estas características se llama problema del máximo conjunto independiente y es NP-completo, por lo cual es poco probable que exista un algoritmo que lo resuelva eficientemente.

El problema de decidir si un grafo dado tiene un conjunto independiente de un tamaño particular es el Problema del conjunto independiente, el cual es computacionalmente equivalente a decidir si un grafo tiene un clique de un tamaño particular. Esto porque, si un grafo tiene un conjunto independiente de tamaño k, luego su grafo complemento tendrá un clique de tamaño k. El problema de decisión del conjunto independiente (al igual que el problema del clique) también es NP-completo.

Aclaraciones conceptuales[editar]

Conjunto independiente maximal no debe confundirse con el máximo conjunto independiente. El primero es un conjunto independiente que no está contenido en ningún otro conjunto independiente mayor que él. En efecto, el problema de encontrar un conjunto independiente maximal puede resolverse en tiempo polinomial mediante un simple algoritmo voraz.

Véase también[editar]

  • Matching (conjunto de aristas independientes)

Referencias[editar]

  1. Scheinerman: Matemáticas discretas ISBN 970-686-071-1

Enlaces externos[editar]