Conjunto de nivel

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Sea un conjunto y un campo escalar sobre . El conjunto de nivel para la función es el subconjunto de puntos en para los cuales .

En símbolos:

Un conjunto de nivel puede coincidir con el conjunto vacío.

  • Si los conjuntos de nivel son en general curvas y se las llama curvas de nivel.
  • Si los conjuntos de nivel suelen ser superficies y se les llama superficies de nivel.
  • Para dimensiones mayores, no se cuenta con una representación gráfica de estos conjuntos

Aplicaciones[editar]

  • En cartografía, las curvas de nivel unen los puntos de un mapa que se encuentran a la misma altura (cota). Cuando representan los puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como en lagos de grandes dimensiones, se denominan isóbatas
  • En meteorología, las curvas de nivel se suelen usar para unir puntos que tienen la misma presión (isobaras).
  • En electromagnetismo, las curvas o superficies de nivel pueden representar conjuntos que tienen un mismo potencial.

Conjuntos de nivel y gradientes[editar]

Un ejemplo de curvas de nivel (azul) y curvas integrales (rojo)

Si el conjunto coincide con y el campo escalar es de clase entonces los vectores gradiente del campo escalar son ortogonales a los conjuntos de nivel en el siguiente sentido: Sea un conjunto de nivel y una curva diferenciable. Los vectores gradiente del campo sobre la curva, son ortogonales a los vectores velocidad de la curva.

En efecto, para todo en ,

Derivando respecto de se obtiene (usando la derivada de una composición de funciones)

En particular, las curvas integrales asociadas al campo vectorial generado por el gradiente de son "ortogonales" a los conjuntos de nivel asociadas a dicha función.

En física, estas curvas integrales se las suele llamar líneas de campo o líneas de fuerza, según el contexto.