Circuncónica e incónica

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Ejemplos de una incónica (la inelipse de Steiner, en color rojo) y de una circuncónica (la circunelipse de Steiner, en color magenta).

En la geometría del triángulo, una circuncónica es una curva cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo dado,[1]​ y una incónica es una curva cónica inscrita en los lados (incluso extendidos) de un triángulo.[2]

Supóngase que A, B, C son distintos puntos no colineales, y que ΔABC designa el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice, sino también el ángulo BAC en el vértice A, y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC. Sean a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, las longitudes de los lados de ΔABC.

En coordenadas trilineales, una circuncónica general es el lugar geométrico de los puntos X = x : y : z que satisfacen la ecuación

uyz + vzx + wxy = 0,

para algún punto u : v : w. El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, que no sea A, B, C, es un punto de la línea

ux + vy + wz = 0.

Esta línea coincide con la circunferencia circunscrita de ΔABC en 0, 1 o 2 puntos, según la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.

Una incónica general es tangente a las tres líneas rectas laterales de ΔABC y está dada por la ecuación

u2x2 + v2y2 + w2z2 − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.

Centros y líneas tangentes[editar]

Circuncónica[editar]

El centro de una circuncónica general es el punto

u (− au + bv + cw) : v (aubv + cw) : w (au + bvcw).

Las líneas tangentes a una circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,

wv + vz = 0,
uz + wx = 0,
vx + uy = 0.

Incónica[editar]

El centro de una incónica general es el punto

cy + bz : az + cx : bx + ay.

Las líneas tangentes a una incónica general son las líneas rectas laterales de ΔABC, dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

Otras características[editar]

Circuncónica[editar]

  • Cada circuncónica no circular se corta con la circunferencia circunscrita de ΔABC en un punto que no sea A, B o C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección, dado por las coordenadas trilineales
(cxaz) (aybx) : (aybx) (bzcy) : (bzcy) (cxaz)
  • Si P = p : q : r es un punto en una circuncónica general, entonces la tangente a la cónica en P viene dada por
(vr + wq) x + (wp + ur) y + (uq + vp) z = 0.
  • La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si
u2a2 + v2b2 + w2c2 − 2vwbc − 2wuca − 2vavab = 0,
y a una hipérbola si y solo si
u cos A + v cos B + w cos C = 0.
  • De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene el área más grande coincide con el centro de la elipse.[3]:p.147 La elipse dada, pasando por los tres vértices de este triángulo y centrada en el centroide del triángulo, se llama circunelipse de Steiner.

Incónica[editar]

  • Una incónica general se reduce a una parábola si y solo si
ubc + vca + wab = 0,
en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a los otros dos lados extendidos.
  • Supóngase que p1 : q1 : r1 y p2 : q2 : r2 son puntos distintos, y sea
X = (p1 + p2t) : (q1 + q2t) : (r1 + r2t).
Como el parámetro t se extiende a través del dominio de los números reales, el lugar geométrico de X es una recta. Definiendo
X2 = (p1 + p2t) 2 : (q1 + q2t) 2 : (r1 + r2t)2,
el lugar geométrico de X2 es la incónica, necesariamente una elipse, dada por la ecuación
L4x2 + M4y2 + N4z2 − 2M2N2yz − 2N2L2zx − 2L2M2xy = 0,
donde
L = q1r2r1q2,
M = r1p2p1r2,
N = p1q2q1p2.
  • Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del propio triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo original.[3]:p.139 Para un punto dado dentro del triángulo medial, la inelipse con su centro en ese punto es única.[3]:p.142
  • La inelipse con el área más grande es la inelipse de Steiner, también llamada la inelipse del punto medio, con su centro en el centroide[3]:p.145 del triángulo. En general, la relación entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unidad del centro de la inelipse, es[3]:p.143
que se maximiza para las coordenadas baricéntricas del centroide
  • Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes.[3]:p.148

Extensión a los cuadriláteros[editar]

Todos los centros de inelipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea recta que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero. [3]:p.136

Ejemplos[editar]

Referencias[editar]

  1. Weisstein, Eric W. "Circumconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
  2. Weisstein, Eric W. "Inconic." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.htm (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial y la última versión).
  3. a b c d e f g Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.

Enlaces externos[editar]