Cifrado ElGamal

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El procedimiento de cifrado/descifrado ElGamal se refiere a un esquema de cifrado basado en el problema matemático del logaritmo discreto. Es un algoritmo de criptografía asimétrica basado en la idea de Diffie-Hellman y que funciona de una forma parecida a este algoritmo discreto.

El algoritmo de ElGamal puede ser utilizado tanto para generar firmas digitales como para cifrar o descifrar.

Fue descrito por Taher Elgamal en 1984[1] y se usa en software GNU Privacy Guard, versiones recientes de PGP, y otros sistemas criptográficos. Este algoritmo no está bajo ninguna patente lo que lo hace de uso libre.

La seguridad del algoritmo se basa en la suposición que la función utilizada es de un sólo sentido debido a la dificultad de calcular un logaritmo discreto.

El procedimiento de cifrado (y descifrado) está basado en cálculos sobre un grupo cíclico cualquiera lo que lleva a que la seguridad del mismo dependa de la dificultad de calcular logaritmos discretos en .

El algoritmo original[editar]

Mostremos el criptosistema propuesto inicialmente por Tahar ElGamal en su artículo.

Generación de la clave[editar]

Para generar la clave, Alicia escoge un número primo cualquiera tal que el logaritmo discreto no es soluble en un tiempo asumible en (grupo multiplicativo módulo un primo p). Esto último se traduce en que tenga un factor primo grande (lo que hace que el problema del logaritmo discreto sea difícil[2] ).

Además Alicia elige dos números aleatorios (el generador del grupo cíclico ( y (que actuará como clave privada) tal que .

Alicia calcula el valor de . La clave pública será , mientras que el valor de lo mantendrá en secreto. Despejando a de la ecuación obtenemos la relación siguiente entre los componentes de la clave pública y la clave privada con lo que el criptosistema es seguro siempre que sea difícil hallar el logaritmo discreto.

Cifrado[editar]

Supongamos que Bruce tiene un texto claro que quiere enviar cifrado a Alicia. Lo primero por hacer es convertir este texto en un entero m entre 1 y (). Esto no es parte del cifrado, sino que es una manera de codificar estándar, conocida por todos. Luego Bruce escoge arbitrariamente un número (que mantendrá secreto) para finalmente calcular:

El mensaje cifrado final corresponde a la tupla

Descifrado[editar]

Para descifrar aprovechamos que:

Por tanto para descifrar se tiene que realizar el siguiente cálculo:

donde representa el inverso de módulo lo que indica que para calcular el descifrado, es necesario conocer , que es la clave privada de Alicia.

Por el pequeño teorema de Fermat se demuestra que y lo podemos aplicar.

Demostración: El pequeño teorema de Fermat indica que con p primo y x>0 coprimo con p. Elevando a la expresión obtenemos que . Por tanto . Despejando

Ejemplos[editar]

Simple[editar]

Alicia elige los valores:

(primo aleatorio y suponemos que p-1=15 tiene un factor primo grande lo cual no es cierto)
(generador aleatorio)
(clave privada aleatoria)

Alicia calcula

(valor calculado)

Por tanto la clave pública será .

Bruce tiene el texto claro

(el cual está entre 1 y p-1)

Bruce escoge un aleatorio entre 2 y p-1 Bruce calcula

.

Por lo que el texto cifrado es

Para descifrar Alicia usa la clave privada y el Pequeño Teorema de Fermat:

.

Complejo[editar]

Veamos una aplicación más real del algoritmo:

Alicia elige los valores:

(primo aleatorio y para suponemos que 52673 es sufientemente grande)
(generador aleatorio)
(clave privada aleatoria)

Alicia calcula

(valor calculado)

Por tanto la clave pública será .

Bruce tiene el texto claro "HIJO"

(el cual está entre 1 y p-1)

Bruce escoge un aleatorio entre 2 y p-1

Bruce calcula

.

Por lo que el texto cifrado es que al decodificarlo queda:

=BAGVLB
=SCEAZ

Con lo que el mensaje a enviar es (BAGVLB, SCEAZ)

Para descifrar Alicia usa la clave privada :

ya que por el pequeño teorema de fermat tenemos

Generalización[editar]

Lo único que se utiliza de la congruencia módulo es que el conjunto forma un grupo con las operaciones módulo y que en dicho grupo el problema del logaritmo discreto resulta difícil.

Por lo tanto, puede cambiarse en este criptosistema al grupo por cualquier otro grupo en el que el logaritmo discreto sea complicado.

Por ejemplo, resulta bastante efectivo utilizar como grupo una curva elíptica sobre (véase Criptografía de curva elíptica), ya que no se conoce un algoritmo de tiempo subexponencial capaz de resolver el problema del logaritmo discreto en curvas elípticas en general.[3]

Propiedades[editar]

Efectividad[editar]

Hasta el momento el algoritmo ElGamal de cifrado/descifrado puede ser considerado un algoritmo efectivo.

Un adversario con la habilidad de calcular logaritmos discretos podría ser capaz de romper un cifrado ElGamal. Sin embargo, en la actualidad, el algoritmo de computación de logaritmos discretos (cuando trabajamos módulo un primo) es subexponencial con una complejidad de λ = 1/3, la misma que la de factorizar dos números primos, y por tanto, no es accesible de realizar tal tarea en números grandes en un tiempo razonable. El logaritmo discreto es aún más difícil si trabajamos en otros grupos (como por ejemplo, curvas elípticas).

Véase Récords en logaritmos discretos para una muestra de las posibilidades que da la computación actual a la hora de resolver este problema.

Maleabilidad[editar]

Existe un caso en que este algoritmo se vuelve maleable. Esto implica que bajo un ataque específico la seguridad de ElGamal se puede quebrar. Este ataque usa el hecho de tener el texto cifrado del texto claro (ambos conocidos). Sabiendo esto se puede llegar a que el texto cifrado corresponde al texto plano . Si ahora la persona que cifró el mensaje anterior genera otro texto cifrado (utilizando el mismo con el que cifró anteriormente) el adversario debería ser capaz de llegar al texto plano correspondiente siguiente los siguientes pasos:

Calcular
Buscar un tal que tomando en cuenta que al igual que cumple con estar entre y
Tomando el peor caso, el atacante obtendrá dos textos claros (debido a la función módulo).

Rendimiento[editar]

El análisis de rendimiento del algoritmo ElGamal es similar al de RSA. Concretamente tenemos el siguiente análisis

Sea el módulo usado en ElGamal. Los procesos de cifrado y descifrado de ElGamal toman tiempos .

Homomórfico[editar]

El cifrado ElGamal es un cifrado homomórfico en la multiplicación. En efecto si:

entonces:

Prueba de conocimiento del texto original[editar]

Este tipo de cifrado permite probar el conocimiento del texto original cifrado sin tener que revelarlo (esta propiedad en inglés se llama plaintext aware). Por ejemplo esto es muy útil en sistemas de voto electrónico para asegurarnos de que el elector es el que realmente ha cifrado sus intenciones de voto y no las suministradas por un posible atacante. Para hacer la demostración se aprovecha del Algoritmo de identificación de Schnorr. [4]

Para un texto cifrado de ElGamal , con el algoritmo de identificación de Schnorr, se prueba que P conoce b. Como la clave pública es entonces si P conoce b, entonces se puede recuperar m calculando . Por tanto el protocolo prueba que P conoce el texto original m.[5]

Prueba de recifrado[editar]

El Protocolo de Chaum-Pedersen puede ser usado para que un texto cifrado es un recifrado de sin revelar el factor de aleatorización s. La prueba de demostrar por el Protocolo de Chaum-Pedersen que o lo que es lo mismo que en ambos casos es igual a . Esto implica que existe un valor s que lo hace posible.[6]

Prueba de cifrado de uno de los textos claros predefinidos[editar]

El Protocolo de Cramer-Damgard-Schoenmakers permite demostrar que un texto cifrado con ElGamal es el correspondiente a un texto claro de entre los posibles (los textos claros posibles tienen que estar predeterminados) sin revelar cual es. Esto es muy útil para votaciones electrónicas que usan este tipo de cifrado.[7]

Referencias[editar]

  1. ElGamal, Taher (1985). «A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms». IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY 31 (4): 469-472. Consultado el 19 de junio de 2015. 
  2. Koblitz, Neal (2006). «Discrete log». A course in number theory and cryptography (en inglés) (segunda edición). Springer. pp. 102-103. ISBN 0-387-94293-9. 
  3. Qureshi, Claudio (2012). Criptografía de Curvas Elípticas y Logaritmo Discreto. Implementación de Autoreducibilidad aleatoria. (Maestría). Universidad de la República. Consultado el 19 de junio de 2015. 
  4. Matters of Coercion-Resistance in Cryptographic Voting Schemes. Carmen Kempka. Karlsruher Instituts für Technologie. 3 de junio de 2014
  5. Computer and Information Security Handbook. Second Edition. John R. Vacca. Elsevier 2013
  6. Verifiable Voting Systems. Thea Peacock, Peter Y. A. Ryan, Steve Schneider y Zhe Xia. University of Luxembourgy University of Surrey
  7. Every Vote Counts: Ensuring Integrity in Large-Scale DRE-based Electronic Voting. Feng Hao, Matthew Nicolas Kreege