Carta (matemática)

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CartaGeometriaDiferencial.gif

Carta se incluye en terminología matemática en el sentido cartográfico, el objetivo es el de unir una serie de cartas o “mapas” para que nos permitan definir completamente una atlas o “colección de mapas” de la totalidad de un espacio topológico al que queremos estudiar.

Para una ampliación contextual de la definición vea variedades diferenciables.

Definición de cartas[editar]

Dado M_{}^{} un espacio topológico, llamaremos carta de dimensión m_{}^{} en M_{}^{} a un par (U, \Phi_{}^{}) tal que la aplicación  \Phi :U= \stackrel{\circ}{U} \subset M \rightarrow \mathbb{R}^m cumpla que  \Phi_{}^{} (U) sea un abierto y  \Phi_{}^{} sea un homeomorfismo(biyectiva, continua e inversa continua).

Notas

  • Si  \Phi (p)=0_{}^{}, diremos que la carta está centrada en p_{}^{}.

Ejemplos triviales[editar]

1) Si M= \mathbb{R}^n podemos ver que ( \mathbb{R}^n, \; id: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n) es carta  \forall n \in \mathbb{N}:n>0 .

2) Si M= \mathbb{R} pordemos ver que ( (a,b), \; i:(a,b) \hookrightarrow \mathbb{R} ) es carta  \forall a,b \in \mathbb{R}: a < b .

3) Si M= \mathbb{R} podemos ver que ( \mathbb{R}, \; x \mapsto x^3) es carta, también lo es  x^{2n+1} \forall n >1.

Demostración:

 \mathbb{R} es espacio topológico,  \forall x \in \mathbb{R}, \; \exists ! x^3, \exists ! \sqrt[3]{x}, luego es biyectiva y como es continua tenemos un homeomorfismo.

4) Si  M = S^1 \subset \mathbb{R} \cong \mathbb{C} podemos ver que ( S^1 \ \{ i \}, \; \phi ) es carta para:

\begin{matrix} \phi : & {S^1 \ \{ i \} } & \longrightarrow{} & {( - \frac{ 3 \pi }{2},\frac{ \pi }{2})} \\ & z & \longmapsto & { \theta := \det-\arg_{( - \frac{3 \pi }{2},\frac{ \pi }{2})} ( z )} \end{matrix}.

Estereográfica1D.gif

5) Si  M = S^1 \subset \mathbb{R} \cong \mathbb{C} podemos ver que ( S^1 \ \{ i \}, \; \psi ) es carta para:

la proyección estereográfica  \begin{matrix} \psi : & {S^1 \ \{ i \}} & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \\ & z & \longmapsto & { x := \frac{ cos(arg(z)) }{ 1 - sen(arg(z)) } } \end{matrix}.
Caso particular en el que n=2

6) Si  M=S^n \subset \mathbb{R}^{n+1} podemos ver que ( S^n\ \{ (0, \; \dots, \; 0, \; 1) \} , \; \phi ) es carta para:

\begin{matrix} \phi : & {S^n \ \{ (0, \; \dots, \; 0, \; 1) \} } & \longrightarrow{} & \mathbb{R}^{n} \\ & (x_1, \; \dots, \; x_{n+1}) & \longmapsto & \frac{(x_1, \; \dots, \; x_n)}{1 - x_{n+1}} \end{matrix}.

Bibliografía[editar]

La misma que Variedad diferenciable.