Banda de Möbius

La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /ˈmøbiʊs/ o en español a menudo "moebius", pero nunca "mobius") es una superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

Banda de Moebius conformada con una cinta de papel, cuyos extremos se han unido girándolos.

Construcción de una cinta de Möbius

Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos.

Se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un cilindro $S^{1}\times I$), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180° uno de los extremos y se vuelve a pegar.

Propiedades

La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

Banda de Moebius.
(Pulsad la imagen para ampliarla)

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

• Tiene sólo una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior (véase en la imagen).

• Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.

• Esta superficie no es orientable:

Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

• Otras propiedades:

Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino una banda más larga pero con dos vueltas. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas (se puede ver en esta grabación: [1]).

Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Geometría

El símbolo internacional de reciclaje está basado en la imagen de una banda de Moebius.

Una forma de representar la banda de Möbius (cerrada y con frontera) como un subconjunto de $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ es mediante la parametrización:

$\scriptstyle x(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos(u)$

$\scriptstyle y(u,v)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin(u)$

$\scriptstyle z(u,v)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}$

donde $\scriptstyle 0\leq u<2\pi$ y $\scriptstyle -0.5\leq v\leq 0.5$.

Representa una puta de Möbius de ancho unitario, cuya circunferencia central tiene radio unitario y se encuentra en el plano coordenado x-y centrada en $\scriptstyle (0,0,0)\,$. El parámetro u recorre la banda longitudinalmente, mientras v se desplaza de un punto a otro del borde, cruzando transversalmente la circunferencia central.

Con la parametrización anterior podemos obtener su curvatura gaussiana la cual es:

$\scriptstyle -{\frac {64}{(16v^{4}\cos(u/2)^{4}+128v^{3}\cos(u/2)^{3}+384v^{2}\cos(u/2)^{2}+8v^{4}\cos(u/2)^{2}+512v\cos(u/2)+32v^{3}\cos(u/2)+256+32v^{2}+v^{4})}}$

En coordenadas cilíndricas $\scriptstyle (r,\theta ,z)$, se puede representar una versión sin frontera (abierta) de la banda de Möbius mediante la ecuación:

$\scriptstyle \log(r)\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)=z\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

Topología

Topológicamente, la banda de Möbius puede definirse como el cuadrado $\scriptstyle [0,1]\times [0,1]$ que tiene sus aristas superior e inferior identificadas (topología cociente) por la relación $\scriptstyle (x,0)\,$ $\sim \,$ $\scriptstyle (1-x,1)\,$ para $\scriptstyle 0\leq x\leq 1$, como en el diagrama que se muestra en la figura de la derecha.

Para transformar un cuadrado en una banda de Möbius, unir las aristas etiquetadas con A de manera tal que las direcciones en que las flechas apuntan sea la misma.

La banda de Möbius es una variedad bidimensional (es decir, una superficie). Es un ejemplo estándar de una superficie no orientable. La banda de Möbius es un ejemplo elemental -también- para ilustrar el concepto matemático de fibrado topológico.

Precisamente, como objeto topológico, la banda de Möbius también es considerada como el espacio total $\scriptstyle Mo\,$ de un fibrado no trivial teniendo como base la 1-esfera $\scriptstyle S^{1}$ y fibra un intervalo, i.e.

$\scriptstyle I\subset Mo\to S^{1}$

El contraste con el fibrado trivial $\scriptstyle I\subset S^{1}\times I\to S^{1}$ es agradable pues se sabe que sólo hay dos de estos fibrados E

$\scriptstyle I\subset E\to S^{1}$

Es decir, $\scriptstyle S^{1}\times I$ y $\scriptstyle Mo\,$ son todos los I-fibrados sobre la circunferencia.

Objetos relacionados

Análoga a la banda de Möbius es la botella de Klein, pues también tiene sólo una superficie, donde no se puede diferenciar "fuera" de "dentro".

Esto último significa que mientras la banda se encaja (embedding) en $\mathbb {R} ^{3}$, la botella no.

La Banda de Möbius en el arte

Pintura mural.

El 17 de octubre de 1996, se estrenó la película Moebius,​​ realizada en Argentina. Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada. Se basa en un cuento de A. J. Deutsch, A Subway Named Moebius (1950).

Johan Sebastian Bach compuso un canon cuya partitura, al ejecutarse, guarda semejanza con la forma de una Banda de Möbius.[2]

Véase también

• Topología
• Botella de Klein

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Banda de Möbius.
• El rincón de la Ciencia: La banda de Moebius (Möbius)
• Experimentos con la banda de Möbius en YouTube.