Anexo:Demostración de derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

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A continuación vamos a demostrar las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivada de la función logarítmica[editar]

Tenemos una función , por la definición de derivada:

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

Que podemos trasformar en:

Como si tiende a cero tiende a infinito, podemos hacer el siguiente cambio de variable:

Y por la definición del número e, tenemos que:

O, lo que es lo mismo:

En el caso particular del logaritmo natural:

Ya que .

Derivada de la función exponencial[editar]

Partimos de una función exponencial . Vamos a usar la derivada de la función inversa:

Dado que y son funciones inversas, tenemos que:

O lo que es lo mismo:

En el caso concreto que , tenemos que:

Ya que .