Número triangular

Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban Tetraktys.

Definición formal

Cada número triangular T_n está definido por la siguiente fórmula:

T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,

Teorema. La suma de T _n y T_n-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.

Demostración

Sean:

T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,

T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {(n-1)(n-1+1)}{2}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,

sumando:

T_{n}+T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,

es decir:

T_{n}+T_{n-1}=n^{2}\,

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo, con T₃ = 6 y T₄ = 10.

Efectivamente,

T_{4}+T_{3}=10+6=16=4^{2}\,

En la figura 2 (abajo, izquierda) se ve dicho cuadrado.

Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

T_{n}+T_{n}=2T_{n}=2{\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,

2T_{n}=n(n+1)\,

que es la expresión buscada.

Suma de los primeros números triangulares

La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el enésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares. Su expresión es:

S={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}

Gauss y su teorema

En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ." Nótese que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como ocurre en el caso de 20 = 10 + 10), ni tampoco que debe haber una solución con tres números triangulares que sean diferentes de cero. Se trata de un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat.

El número triangular más grande que puede representarse con la fórmula 2^k − 1 es 4095 (ecuación de Ramanujan–Nagell).

Wacław Franciszek Sierpiński se preguntó si habría cuatro números triangulares distintos en la progresión geométrica. El matemático polaco Kazimierz Szymiczek infirió que este planteamiento era falso. Los matemáticos chinos Fang y Chen demostraron esta inferencia en 2007.^[1]^[2]