Grupo unitario

En matemáticas, el grupo unitario U_K(n) de grado n, es el grupo de matrices unitarias (de n x n) cuyas componentes pertenecen al cuerpo K. Estas matrices, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (Usualmente el cuerpo K se toma como el conjunto de los reales $\mathbb {R}$ o el cuerpo de los números complejos $\mathbb {C}$ .)

El grupo unitario, denotado U_K o U(n, K), es un subgrupo del grupo general lineal GL(n, K)

Ejemplos

En el caso simple n = 1, el grupo U(1) es el círculo unidad en el plano complejo, con su multiplicación. Todos los grupos unitarios complejos contienen copias de este grupo.

Si el cuerpo F es R, el cuerpo de números reales, entonces el grupo unitario coincide con el grupo ortogonal O(n, R). Si F es C, el cuerpo de los números complejos, se escribe generalmente U(n) para el grupo unitario de grado n.

El grupo unitario U(n) es un grupo de Lie real de dimensión n². El álgebra de Lie de U(n) consiste en las matrices anti-simétricas complejas n por n, con el corchete de Lie dado por el conmutador.

Subgrupos

El grupo especial unitario SU(n) es un subgrupo de U(n).
U(m), con m < n es un subgrupo de U(n).

Generalización

El concepto de grupo unitario puede extenderse a espacios vectoriales de dimensión infinita, como los espacios de Hilbert usados en mecánica cuántica. Dado un operador autoadjunto ${\hat {A}}$ , como el que representa una magnitud física puede definirse un grupo de operadores unitarios mediante:

{\hat {U}}_{A}(s)={\hbox{exp}}\left(-\mathrm {i} {\hat {A}}s\right)\qquad s\in \mathbb {R}

Los dos ejemplos más notorios son el grupo unitario de evolución temporal, generado a partir del operador hamiltoniano y el grupo de rotaciones alrededor de un eje, generado por el momento angular: