Distributividad

Reglas de transformación
Lógica proposicional
Reglas de inferencia
Modus tollendo tollens / ponens Modus ponendo ponens / tollens Introducción del bicondicional / eliminación Introducción de la conjunción / eliminación Introducción de la disyunción / eliminación Silogismo disyuntivo / hipotético Dilema constructivo / destructivo Absorción
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de De Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción de la negación
Lógica predicativa
Generalización / instanciación universal Generalización / instanciación existencial
Lógica modal

En matemáticas y en particular en álgebra abstracta, la distributiva es la propiedad de los operadores binarios que generaliza la propiedad distributiva del álgebra elemental.

La propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma en álgebra elemental es aquella en la que el resultado de un número multiplicado por la suma de dos o más sumandos, es igual a la suma de los productos de cada sumando por ese número. En términos algebraicos:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Ejemplo: $3\cdot (5+4)=3\cdot (9)=27$

$(3\cdot 5)+(3\cdot 4)=15+12=27$

En ambos casos los resultados son iguales. Esta propiedad, particularizada para la suma y el producto, se puede generalizar a cualquier otro par de operaciones aritméticas, obteniendo de esta forma la definición de distrubutividad. Por eso cuando decimos que algo se distribuye .

Definición

Sea A un conjunto dado en el que se han definido dos operaciones binarias ($\circ$ ; $\star$). Entonces:

• La operación $\circ$ es distributiva por la izquierda respecto de la operación $\star$ si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c $\in$ A, entonces

$a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c)$

• La operación $\circ$ es distributiva por la derecha respecto de la operación $\star$ si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c $\in$ A, entonces

$(b*c)\circ a=(b\circ a)*(c\circ a)$

• La operación $\circ$ es distributiva respecto de la operación $\star$ si es distributiva por la derecha y distributiva por la izquierda, esto es, si se cumple que dados tres elementos cualesquiera a, b, c $\in$ A, entonces

$a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c)$ y $(b*c)\circ a=(b\circ a)*(c\circ a)$

Hay que notar que si la operación $\circ$ cumple la propiedad conmutativa, entonces las tres condiciones son equivalentes, y basta que se cumpla una cualquiera de ellas para que las otras dos también se cumplan simultáneamente.

Véase también

• Propiedad conmutativa
• Propiedad asociativa
• Elemento inverso
• Elemento neutro

Enlaces externos

• Operaciones binarias Artículo sobre operaciones binarias y sus propiedades.
• Garvín, Antonio. «Distributividad». Universidad de Málaga. Archivado desde el original el 26 de septiembre de 2010. Consultado el 22 de abril de 2011. 

• Datos: Q187959