Equicontinuidad

Sean $(X,{\mathcal {T}})\,$ espacio topológico, $(Y,d)\,$ espacio métrico, y $x_{0}$ un punto en $X$. Un conjunto $H$ de funciones de $X$ en $Y$ se dice equicontinuo en $x_{0}$ si y solamente si para todo $r>0,\exists A$ entorno de $x_{0}$ tal que $\forall f\in H,f(A)\subseteq B(f(x_{0}),r)$

Notar que, en particular, si $H$ es equicontinuo en $x_{0}$, entonces todas las funciones que pertenecen a $H$ son continuas en $x_{0}$.

Decimos que $H$ es equicontinua si lo es para todo $x_{0}\in X$.

Ejemplos

1. Si $H$ es una familia finita de funciones continuas, entonces es equicontinua
2. Si $(X,{\mathcal {T}})\,$ es métrico y todas las funciones de $H$ son Lipschitz continuas con una misma constante $K$, entonces $H$ es equicontinua
3. Si $X,Y\subseteq \mathbb {R}$, todas las funciones de $H$ son derivables, y existe una constante $K>0$ tal que $\forall f\in H,\forall x\in X,|f'(x)|<K$, entonces se cumple que todas las funciones de $H$ son Lipschitz continuas de constante $K$, y por ende, $H$ es equicontinuo.

Esta última propiedad es una de las más usadas para verificar equicontinuidad de una familia de funciones.

• Datos: Q249092