Vector

Un vector es un segmento de una cierta longitud (denominada módulo del vector), al cual se le asignan propiedades adicionales como la dirección y sentido. El punto de origen en el espacio se denomina punto de aplicación.

Características

Un vector queda definido por su

• módulo. Se corresponde con la longitud del vector.
• dirección. Recta que contiene el vector o cualquiera otra paralela.
• sentido. Cualquier de las dos orientaciones posibles en la recta de dirección.

La dirección no debe ser confundida con el uso dado coloquialmente a dicha palabra. La dirección no implica sentido alguno;, la especificación del punto origen y punto extremo del vector define el sentido del vector.

Vectores libres y opuestos

Los vectores son vectores libres si se consideran iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque se encuentre sobre una misma recta. Estos vectores también se denominan como vectores equipolentes. Estos vectores representan una magnitud en sí misma, sin importar su ubicación en el espacio.

El vector opuesto a uno dado es el que tiene el mismo, módulo y dirección pero sentido contrario. Así el vector opuesto a $\mathbf {a}$ es $-\mathbf {a}$.

Componentes vectoriales

Cualquier vector que consideremos es siempre una combinación lineal de un número n de vectores unitarios perpendiculares entre si, que forman la base del espacio vectorial en cuestión.

Estos vectores unitarios se suelen llamar versores, y en el espacio tridimensional se representan por $\mathbf {u} _{x}$, $\mathbf {u} _{y}$, $\mathbf {u} _{z}$, si bien es también usual representarlos como ${\hat {i}}$, ${\hat {j}}$, ${\hat {k}}$, siendo ${\hat {i}}$ el vector unitario según el eje de la x, ${\hat {j}}$ el vector unitario en el eje de las y, y ${\hat {k}}$ en el de las z. En el espacio de dos dimensiones se toman dos de estos versores, que corresponden a los ejes de coordenadas adoptados.

Convenio de representación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flechita sobre la letra que designa su módulo (que es un escalar). Así, por ejemplo; $\mathbf {A} ,\ \mathbf {a} ,\ \mathbf {\omega } ,$ ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: $|\mathbf {A} |,\ |\mathbf {a} \,\ |\mathbf {\omega } |,$ ...

Cuando convenga, representaremos la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, designaremos los vectores representados en la Figura 1 en la forma $\mathbf {A} ={\text{MN}},\mathbf {B} ={\text{OP}}\,$, ... resultando muy útil esta notación para los vectores desplazamiento.

Las componentes del vector, como caso particular de un vector matemático, pueden escribirse en una tupla:

$\mathbf {a} =(x,y,z)$

Si se desea expresar al vector como combinación de los versores, se representará como:

$\mathbf {a} =x\mathbf {\hat {i}} +y\mathbf {\hat {j}} +z\mathbf {\hat {k}}$

donde los valores x, y y z son las componetes del vector queson escalares

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Resta de vectores

Producto escalar

Adición o Suma

En este caso se utiliza el método de paralelogramo (izquierda en la imagen) o el del polígono (derecha).

Substracción o Resta

Es la suma del inverso, del vector sustraendo, y el minuendo.

Producto escalar

Es la longitud de la proyección ortogonal de un vector sobre el otro.

Véase también

• Vector (matemática)