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El "descubrimiento" de la constante está acreditado a [[Jacob Bernoulli]], quien estudió un problema particular del llamado ''interés compuesto''. Si se invierte una ''Unidad Monetaria'' (que abreviaremos en lo sucesivo como ''UM'') con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, diviendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50<math>^2</math> = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25<math>^4</math> = 2,4414...En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x <math>(1+\textstyle{1 \over 12})^{12}</math> = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de ''n'' (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de <math>\textstyle {1 \over n}</math>, el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación: |
El "descubrimiento" de la constante está acreditado a [[Jacob Bernoulli]], quien estudió un problema particular del llamado ''interés compuesto''. Si se invierte una ''Unidad Monetaria'' (que abreviaremos en lo sucesivo como ''UM'') con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, diviendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50<math>^2</math> = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25<math>^4</math> = 2,4414...En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x <math>(1+\textstyle{1 \over 12})^{12}</math> = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de ''n'' (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de <math>\textstyle {1 \over n}</math>, el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación: |
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todo esto es una mentira pero verdad, ya que wikipedia no es una pagina considerable ya que no da derechos de autor |
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:<math>\lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n</math> |
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Revisión del 00:08 3 sep 2009
La constante matemática e es uno de los más importantes números reales[1]. Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo, la derivada de la función exponencial f(x) = ex es esa misma función. El logaritmo en base e se llama logaritmo neperiano.
A diferencia de lo que se cree, el número e no se llama número de Euler. Su nombre correcto es la constante de Neper, en honor al matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo al cálculo matemático. La constante e no debe ser confundida con γ, la constante de Euler-Mascheroni, a la que a veces se hace referencia como constante de Euler.
El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo, debido principalmente a que la función ex coincide con su derivada, y por lo tanto, esta función exponencial suele aparecer en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. Si nos fijamos con atención, en todos estos ejemplos podemos encontrar el número e. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, la amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
Su valor aproximado (truncado) es |
Historia
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.[2] No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de ésta. Se asume que la tabla fue escrita por William Oughtred.
El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, diviendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50 = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25 = 2,4414...En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x = 2,61303...UMs. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:
Bernoulli se dio cuenta de que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UMs. De aquí proviene la definición que se da de e en finanzas que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma contínua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará UM con interés compuesto.
El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.
Definición
La definición más común es que e es el valor límite de la serie
que se expande como
Otra definición habitual según el cálculo integral es:
lo que significa que e se define por la relación:[3]
Propiedades
Cálculo
La función exponencial f(x) = ex es importante, en parte debido a que es la única función que es su propia derivada y vale 1 para x=0., y por lo tanto su propia primitiva también:
y
Además, e es el límite de la sucesión de término general:
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:
Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio de variable :
Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.
Desarrollo decimal
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:
Lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción continua no normalizada:
En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.
Teoría numérica
El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que e además es un número normal.
Números complejos
El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:
El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler
de lo que se deduce que:
Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:
que es la fórmula de De Moivre.
Función exponencial
Se llama exponencial la función definida sobre los reales por
- La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
- La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: . Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.
En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula[4] que se aproxima a "e":
- Otro límite[5] con el que se obtiene el número e es:
donde es el enésimo Número primo y es el primorial del enésimo primo
Representaciones de e
El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo es el límite:
Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:
Cuando tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta expresión tiende a , como se quería demostrar.
La serie infinita anterior no es única, e también puede ser representado como:
Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simple continua infinita:
Dígitos conocidos
El número de digitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.[6][7]
Fecha | Dígitos decimales | Cálculo realizado por |
---|---|---|
1748 | 18[8] | Leonhard Euler |
1853 | 137 | William Shanks |
1871 | 205 | William Shanks |
1884 | 346 | J. M. Boorman |
1946 | 808 | ? |
1949 | 2,010 | John von Neumann (en la ENIAC) |
1961 | 100,265 | Daniel Shanks y John W. Wrench |
1994 | 10,000,000 | Robert Nemiroff y Jerry Bonnell |
Mayo de 1997 | 18,199,978 | Patrick Demichel |
Agosto de 1997 | 20,000,000 | Birger Seifert |
Septiembre de 1997 | 50,000,817 | Patrick Demichel |
Febrero de 1999 | 200,000,579 | Sebastian Wedeniwski |
Octubre de 1999 | 869,894,101 | Sebastian Wedeniwski |
21 de noviembre de 1999 | 1,250,000,000 | Xavier Gourdon |
10 de julio de 2000 | 2,147,483,648 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
16 de julio de 2000 | 3,221,225,472 | Colin Martin y Xavier Gourdon |
2 de agosto de 2000 | 6,442,450,944 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
16 de agosto de 2000 | 12,884,901,000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
21 de agosto de 2003 | 25,100,000,000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
18 de septiembre de 2003 | 50,100,000,000 | Shigeru Kondo y Xavier Gourdon |
27 de abril de 2007 | 100,000,000,000 | Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo |
Referencias
- El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.
- ↑ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics. Holt, Rinehart & Winston.
- ↑ O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "The number e"; University of St Andrews Scotland (2001)
- ↑ Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Spivak cap. 17 (p. 423) o en Apostol cap. 6 (p. 277).
- ↑ Mathsoft "Expresión de Keller", Steven Finch (1998)
- ↑ Sebastián Martín Ruiz (1997)
- ↑ Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
- ↑ Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
- ↑ New Scientist 21 de Julio de 2007 p.40
Véase también
- Demostración de que e es irracional
- Función exponencial
- Lista de constantes matemáticas
- Logaritmo
- Logaritmo de una matriz
- Número irracional
- Número π
- Número trascendente