Zitterbewegung

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El zitterbewegung (del alemán, Bewegung, 'movimento' y zitter 'tremuloso, tembloroso') es un movimiento de vibración ultrarápido alrededor de la trayectoria clásica de una partícula cuántica, específicamente de los electrones y otras partículas de spín 1/2, que obedecen la ecuación de Dirac.

Descubrimiento[editar]

La existencia de dicho movimiento fue propuesta inicialmente por Erwin Schrödinger en 1930 como resultado del análisis del movimiento de paquetes de onda que son solución de la ecuación relativista de Dirac.

El resultado de ese análisis sugería que los electrones de dichos paquetes tenían un movimiento vibratorio a la velocidad de la luz alrededor de su trayectoria. Así además del movimiento observado a lo largo de su trayectoria existía una vibración perpendicular en torno a la trayectoria observada de amplitud minúscula y difícilmente detectable. La frecuencia angular de este movimiento era 2E/\hbar \approx 2mc^2/\hbar\,, que es aproximadamente 1.6×1021 Hz. Siendo la amplitud algo más grande para electrones lentos y dada por la longitud de onda Compton que es del orden de 10×10-10 cm.

Derivación[editar]

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

  \hat{H} \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) \,\!

donde \hat{H} es el hamiltoniano de Dirac para un electrón en el espacio libre.

 \hat{H} = \left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \,

implica que cualquier operador Q obedece la ecuación:

  -i \hbar \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t}(t)= \left[ \hat{H}, \hat{Q} \right]\,

En particular, la dependencia temporal del operador de posición viene dada por:

\hbar \frac{\partial \hat{x}_k}{\partial t} (t)=i\left[ \hat{H} , \hat{x}_k \right] = \hat{\alpha}_k \,

La ecuación anterior muestra que el operador \hat{\alpha}_k puede interpretarse como la componente k-ésima de un "operador velocidad". Por otra parte la dependencia temporal del operador velocidad viene dada por:

\hbar \frac{\partial \hat{\alpha_k}}{\partial t}(t)=i\left[ \hat{H} , \hat{\alpha_k} \right] = 2i\hat{p}_k- 2i\hat{\alpha_k}\hat{H} \,

Ahora, puesto que ambos p_k\, y H\, no dependen del tiempo, la ecuación anterior puede ser integrada fácilmente dos veces para encontrar la dependencia explícita del tiempo del operador posición:

 x_k(t) = x_k(0) + c^2 p_k H^{-1} t + {1 \over 2 } i \hbar c H^{-1} ( \alpha_k (0) - c p_k H^{-1} ) ( e^{-2 i H t / \hbar } - 1 ) \,

donde x_k(t)\, es el operador posición en el tiempo t\,. La expresión resultante consiste en una posición inicial, un movimiento proporcional al tiempo, y un término que representa una inesperada "oscilación" cuya amplitud es igual a la longitud de onda Compton. Ese término oscilatorio es el llamado "Zitterbewegung".


Véase también[editar]

Referencia[editar]

Bibliografía[editar]

  • E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik ("Sobre el movimiento libre en la mecánica cuántica relativística"), Berliner Ber., pp. 418-428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)
  • A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950-952 (1962)

Enlaces externos[editar]