Usuario:THINK TANK/Área de una Parábola

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El geometría área de una parábola o «La cuadratura del segmento parabólico», según Arquímedes, consiste en medir el segmento de una parábola, cuya área es igual a cuatro tercios del triángulo que encierra. Siendo la parábola una línea que es curva es casi como cuadrar un círculo, cuya demostración la realiza a través del «Centro de gravedad» de una figura plana, y a la vez del «equilibrio de los planos».

En la construcción de la figura geométrica se dan varias constantes, y por lo mismo ellas toman forma de proporción.

La «notación» (Sistema de signos convencionales y simbólicos que se adopta para expresar conceptos matemáticos, físicos, químicos, etc.), de las partes del triángulo y de la cuadratura del segmento de la parábola demostraran las constante y sus respectivas proporciones.

Tres descubrimientos griegos[editar]

Toda área delimitada por líneas rectas pude ser dividida en triángulos.
Todo triángulo puede igualarse a medio rectángulo.
Todo rectángulo puede igualarse a un cuadrado.

Construcción[editar]

El «segmento parabólico» corresponde al área comprendida entre una parábola y una línea recta que la corta.

Para este caso, la recta que corta el segmento parabólico es la base del tríangulo (línea BC).

El segmento parabólico es la figura curvilínea BDC.

El «eje de simetría» de la parábola es la línea de DE, que divide a la parábolo por la mitad o en partes iguales. En este caso el eje de simetría está traslapado o sobrepuesto a la mediatriz DE.

La tangente del segmento parabólico correspone a la línea CA

La línea AB es paralela al eje de simetría DE, pues forma un ángulo recto con la línea BC o base del triángulo. En otras palabras, la línea AB es perpendicular a la línea BC

La tangente CA y la paralela AB convergen en el punto A, pues ambas se dirigen a unirse en el punto señalado.

El segmento parabólico BDC se encuentraerrado dentro del triángulo BAC.

El «Centro de gravedad» del triángulo BAC se encuencuentra ubicado en el punto D, dado que dicho tríangulo se encuentra bisecado en los puntos F; K y E, pues los ángulos interiores del triángulo se encuentran divididos por la referidas bisectrices.

Las líneas CF, KE y la imaginaria (no dibujada) AE, que convergen en el punto D, son la bisectriz, y por lo tanto el punto D corresponde al centro de gravedad del triángulo BAC.

Relaciones geométricas[editar]

De la construcción precedente surge una serie de relaciones geométricas, por el hecho que el eje de simetría DE corta exactamente la mitad de la parábola. Las relaciones geométricas son:

El punto F se encuentra a la mitad de la línea AB.
El punto K se encuentra a la mitad de la línea CA.
El punto E se encuentra a la mitad de la línea BC.
El tríangulo BFC tiene la mitad del tamaño del triángulo BAC.
El tríangulo BDC tiene la mitad del tamaño del triángulo BFC.
El tríangulo BAC tiene cuatro veces el tamaño del triángulo BDC.

Trazar una paralela al azar[editar]

Dentro del triángulo BAC podemos trazar infinitas paralelas a la línea AB. Aquí trazamos al azar la línea paralela que singularizaremos como WZ.

Sin embargo ese «azar» debe realizarse dentro de un marco preestablecido correspondiente a la construcción realizada previamente, y por tal razón, solamente la elección de la ubicación del trazo sería lo azaroso, dado que una vez colocada en el lugar elegido, aquella pasará de manera irremediable a ser una variable independiente de una función analítica, en donde siempre, se conocerá la «ley de dependencia», según la definición que hace Aurelio Baldor en su libro de Álgebra sobre las funciones analítica. Y por lo mismo, el supuesto azar sería sólo un efecto aparente, al estar sujeto al libre albedrío del individuo que eligió el lugar en donde trazar la línea.

Se trata de una Función Analítica, pues se conoce de modo preciso la relación analítica o «ley de dependencia» que liga a las variables dependientes e independientes propias del triángulo BAC y las figuras y trazos que él contiene en su interior. Consecuencialmente, dicha relación puede establecerse matemáticamente por medio de una fórmula o ecuación que nos permite, para cualquier valor de la longitud de la recta WZ o variable independiente, hallar el valor a la función.

Trazar una línea aquí o allá, podría corresponder a una ubicación no tan azarosa, pues queda sugeta al libre albedrío del individuo que la trazará, y por lo mismo podría corresponder a una variable oculta. Pero, cualquiera que sea el lugar en donde se trace la línea, ésta seguirá siendo una variable independiente. Como sucede por ejemplo, cuando conocido el costo de un metro de una pieza de tela (función de la cantidad, de metros o submúltiplo del metro, de la pieza), puede calcularse de cualquier cantidad de unidades, múltiplos o submúltiplos del metro. Y en base al azar, que es producto de nuestro libre albedrío o de la necesidad, podemos elegir la longitud que deseemos de la pieza de tela, lo que no quita, que la longitud siga siendo una variable independiente.

En resumen, en este caso estamos en presencia, a la vez, de un fenómeno de determinismo y de otro de tipo azaroso. En efecto, en el primero por su relación causal (causa-efecto) - propios de los modelos de la física clásica - incluye procesos deterministas; y en el último encontramos procesos de naturaleza azarosa, en que no se puede determinar de antemano cuál será el lugar que, por causa de nuestro propio libre Albedrío, trazaremos la línea WZ.

La línea WZ es a su sección más pequeña YZ, como la base del diámetro BC es a su sección más pequeña BZ, o expresado de manera simbólica:

WZ:YZ::BC:BZ

Prolongación[editar]

Extendamos la línea CF, tanto que su prolongación llegue hasta el punto T; de modo que la longitud del trazo CF sea igual a la del trazo FT, es decir, que alonguemos la línea de tal modo que el punto F se encuentre exactamente en el medio de la línea CT.

Traslación[editar]

Arquímedes mueve una porción de la figura geométrica como si se tratase de algo físico, por lo cual sus gráficos, en la mente, constituyen un conjunto sistémico y dinámico. Razón por la cual se produce sinergia.

En efecto, toma el segmento YZ y lo traslada a una nueva posición SH, de modo que su punto medio T se encuentre ubicado en el final de la línea CF ya prolongada.

Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre sinergia. Como el «efecto producido por la conjunción de dos o más causas, cuyo resultado es superior al que cada una de las partes hubiera producido de manera individual.» Y que, la definición - en el Diccionario de la lengua - de la Real Academia Española la podemoes solicitar aquí [1].

Legado de Arquímedes[editar]

La Cuadratura del segmento parabólico en EL MÉTODO de Arquímedes, según Plutarco: «Es imposible encontrar en toda la Geometría cuestiones más difíciles y más importantes explicadas con términos más sencillos ni más comprensibles que los teoremas de la inteligencia sobrehumana de Arquímedes».

Sin embargo, el legado de Arquímedes va mucho más allá de lo dicho por Plutarco, ya que sus aportes podrían cambiar incluso el rumbo de la ciencia actual, al proporcionar claridad sobre algunos aspectos relacionados, como por ejemplo, con la gravedad; el determinismo; el traslape y la bifurcación de la velocidad de la información con la velocidad del evento; la forma del universo; la fuerza de los diagramas, y otros tantos - de igual importancia - que podemos rescatar de sus manuscritos.

En efecto, si bien es cierto que las cosas que se encuentran delante de nuestros ojos son a menudo las más difíciles de ver, pues es dificultoso darse cuenta de aquellas que son evidentes; no es menos cierto que parados sobre los hombros de ese gigante del pensamiento, no sólo podremos percatarnos de aquellas, sino que además, las veremos en toda su extensión.

Aquí, solamente nos referiremos a dos de aquellos aportes de Arquímedes; esto es, «La fuerza de los diagramas» y el «determinismo», por ambos dicen directa relación con el tema en estudio.

«La fuerza de los diagramas»: La cuestión lógica es profunda y universal: la lengua es algo general, pero un diagrama es algo particular; es por tal motivo, que los filósofos modernos y los expertos en lógica advierten que, para asegurar que la lógica de la comprobación se cumpla de manera universal, en todos los casos, sólo debemos basarnos en la lengua y nunca en un gráfico.

Un triángulo, dibujado en un papel, es estático, definido y válido para ese caso en particular. En cambio, si decimos «imaginemos un triángulo», podemos visualizarlo como uno rectángulo, o como uno acutángulo o como uno obtusángulo.

Reviel Netz, en su tesis doctoral, se refiere a esta «contradicción» que sólo es en apariencia: «Probablemente cuando muera me sigan recordando como “el tipo que hizo esa observación sobre los diagramas griegos”, cosa que encuentro bastante fastidiosa, ya que ése fue prácticamente el primer aporte que hice como académico. Además, me agrada pensar que esa afirmación no fue el punto más alto de mi carrera. De cualquier manera, se trata de una observación importante, dado que demuestra, sin duda alguna, que los matemáticos griegos no trabajan de la manera en que los filósofos y los expertos en lógica moderna desearían que hubieran trabajado. Es indiscutible que se basaron en diagramas»

La supuesta «dicotomía» existente entre los gráficos de Arquímedes y el pensamiento de los filósofos modernos y los expertos en lógica, no es tal, ya que los gráficos de Arquímedes no son estáticos. Muy por el contrario, constituyen un conjunto sistémico y dinámico, en donde las constantes, las proporciones, la causalidad, y sus funciones asociadas a esos gráficos interactúan entre sí, ya que como dice Reviel Netz «La información visual tiene tanta fuerza que, en el momento que nos encontramos frente al diagrama, hacemos una lectura inmediata de la información, … sin siquiera darnos cuenta de que el texto jamás nos dio esa información. De hecho, la regla general entre los matemáticos griegos era: la identidad de los objetos no se establece a través de las palabras, sino de los diagramas. Los diagramas no están allí a modo de ilustración o para hacer la lectura más placentera; los diagramas están allí para darnos los datos más esenciales. Los diagramas antiguos no son ilustrativos; son informativos y forman parte de la lógica de la proposición. Es por eso por lo que la ciencia griega era una ciencia visual».

Los diagramas de Arquímedes constituyen una conexión física y funcional entre dos aparatos o sistemas independientes; esto es, corresponden a una interfaz dinámica, en donde lo dibujado en un papel no es estático, sino que es dinámico en el pensamiento griego. Si los griegos hubiesen tenido los adelantos, sus “gráficos” no estarían sobrepuestos en un pergamino, sino que no hay duda que ahora los podríamos visualizar de la siguiente manera:

Los griegos, en la actualidad, de esta forma estática no diagramarían

El «determinismo», para Arquímedes está sujeto a la causalidad, en donde no tiene cabida el indeterminismo ciego y caprichosamente azaroso. Ya que para él, si bien es cierto, que la línea WZ es dinámica puesto que puede cambiarse o colocarse a infinitos lugares – los cuales son imposibles de determinar de antemano – ella sigue sujeta a las leyes de la causalidad, dado que dicha línea sigue formando parte de un conjunto sistémico, pues solamente la podemos colocar dentro de en un espectro legítimo, y además, de una forma que también es legítima: Solamente puede trazarse dentro del interior del ángulo BAC; lugar éste que corresponde al espectro legítimo, y a la vez, su trayectoria debe ser legítima, esto es que su forma debe ser paralela al «eje de simetría» DE. Si su forma y su ubicación fuere azarosa, sería ilegítimamente indeterminada, ya que el azar la podría colocar fuera del triángulo BAC, y de una manera ajena al requisito de ser paralela, y por lo mismo quedaría desconectada y ajena al conjunto sistémico y dinámico.

En ciencia el uso más frecuente de la palabra «determinación», en cuanto aquí nos interesa, parece ser el de conexión constante y unívoca que a una corresponden a una interfaz dinámica entre cosas y acontecimientos, o entre estados y cualidades de las cosas, así como entre objetos graficados.

Según Mario Bunge «Hasta el azar, que a primera vista es la negación misma de la determinación, tiene también sus leyes, y los accidentes emergen de condiciones preexistentes. Así, la aparición de una “cara” al arrojar una moneda, lejos de ser un acontecimiento ilegal y lejos también de haber surgido de la nada, es el resultado determinado de una determinada operación. Sólo que no se trata del único resultado posible, no es una consecuencia única de un proceso dado o – como también puede decirse – no es un resultado bien definido. Arrojar monedas a cara o cruz es un proceso determinado porque a) lejos de ser incondicionado, exige el cumplimiento de condiciones definidas, tales como la existencia de una moneda y de una persona (o máquina) que la arroje, una superficie horizontal donde la moneda pueda caer, un campo gravitatorio, etc. b) lejos de conducir resultados completamente indeterminados, arbitrarios, ilegales, el juego de cara o cruz tan solo produce “caras” y “cruces”; mientras que si al arrojar la moneda salieran unas veces “caras” y otras elefantes, periódicos u otros objetos cualquiera en forma arbitraria y anárquica, sin conexión alguna con las condiciones precedentes, se trataría de un proceso indeterminado. Esto trae a primer plano la cuestión si la teoría cuántica ha conducido a la bancarrota del determinismo, como tan a menudo se sostiene».

¿Podemos concluir que el azar no es sino un nombre más de la ignorancia humana, sin expresar la esperanza de que finalmente se demuestre que puede reducirse a causación?

El azar es un tipo peculiar de determinación, en donde desconocemos, no solo las «ley de dependencia», sino que además, todas las variantes, y su relación con otras categorías de determinación. En efecto, si mantenemos las mismas condiciones, las mismas fuerzas, y a la vez, conocemos todas las variables, la conexión constante y unívoca y la ley de dependencia, entonces al arrojar una moneda al aire, está, en general siempre caerá por el lado que nosotros determinemos de antemano.

Entonces, los procesos azarosos ¿no se puede determinar de antemano cuál será el suceso siguiente, como sucede en la desintegración de un núcleo radiactivo concreto?

¿Será cierto, que la dinámica, azarosa, es intrínseca a los procesos que estudia la mecánica cuántica), son indeterminables de ante mano?

Sin dejar de lado que, dentro de los procesos deterministas, también se da el azar en la dinámica de sistemas complejos impredecibles, también conocidos como sistemas caóticos.

El tiempo, no sólo tiene la última palabra, sino que también, la respuesta adecuada para esta cuestión.

Constantes y proporciones[editar]

Las constantes y las proporciones son las siguientes:

La proporción original: WZ es a YZ, como BC es a BZ
Como las líneas WZ y AB son paralelas, la proporción se mantiene: BC es a BZ, como CF es a FX

Demostración[editar]

Referencias externas[editar]

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