Usuario:MRS/números coprimos

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Ejemplos[editar]

  • 5 y 11 sí son coprimos porque ambos son primos.
  • En el caso de 11 y 49 también son coprimos porque 11 es primo y 49 no es multiplo de 11.
  • En general, dos números se dicen coprimos si son primos entre sí.

Interpretación en la teoría de conjuntos[editar]

Sean aZ y bZ los conjuntos de los múltiples de a y b. aZ = { ...-3a, -2a, -a, 0, a, 2a, 3a ... } y lo mismo para bZ.
Entonces:

a y b son coprimos si y sólo si aZ + bZ = Z

.

Este teorema es consecuencia directa de la identidad de Bézout:

a y b son coprimos si y sólo si existen dos enteros u y v tales que a·u + b·v = 1.

En efecto, si se puede obtener 1 por combinación lineal de a y b, también se podrá obtener cualquier entero n, multiplicando por n los coeficientes u y v: a·u + b·v = 1 da a·nu + b·nv = n.

En los anillos cíclicos, bases del cálculo modular, a y b son coprimos cuando uno es inversible en el anillo del otro: a en Zb y b en Za. Esto permite simplificar equivalencias del tipo bxby (mod a) en xy (mod a).

Otra consecuencia de la identidad de Bézout es el teorema de Gauss:

Si a y b son primos entre sí y a divide a un producto bc, entonces a divide a c

Formalmente:

( a^b = 1   ^   a | bc ) => a|c

Generalizaciones[editar]

La interpretación con los conjuntos permiten generalizar la noción a más de dos números:

a,b y c son coprimos (considerados conjuntamente) si aZ + bZ + cZ = Z.

Ejemplo: . Una relación de Bézout es 1·6 + 1·10 + (-1)·15 = 1.
Sin embargo estos tres números no son dos a dos coprimos: mcd(6; 10) = 2; mcd(6,15) = 3 y mcd(10,15) = 5.

Otra generalización, más ambiciosa, prescinde de los números y sólo se apoya en los conjuntos: Como los aZ son ideales del anillo conmutativo Z, se decide lo siguiente:
Dos ideales I y J de un anillo conmutativo A son coprimos si I + J = A. En este caso, I·J = IJ; Otra propiedad: Para todo ideal K tal que J·K c I, entonces K c I (corresponde al teorema de Gauss: Si I, J y K son generados por i, j, k, la relación precedente se escribe: i|jk => i|k ).


Autor: M.Romero Schmidtke