Usuario:Heimy/Axiomas de Hilbert

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Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 suposiciones (21 en origen), propuestas por David Hilbert en 1899 como fundamento para el tratamiento moderno de la geometría euclidiana. Otras axiomatizaciones modernas conocidas son las de Tarski y de George Birkhoff.

Los axiomas[editar]

Las primitivas no definidas son: punto, recta, plano. Hay tres relaciones binarias primitivas:

  • Estar entre, una relación ternaria que asocia puntos;
  • Estar en, tres relaciones binarias, una asociando puntos y rectas, otra puntos y planos, y otra rectas y planos;
  • Congruencia, dos relaciones binarias, una asociando segmentos y otra asociando ángulos, denotado por un ≅ infijo.

Obśervese que los segmentos, ángulos y triángulos pueden estar definidos cada uno en términos de puntos y rectas, usando las relaciones de estar entre y estar en.

Todos los puntos, rectas y planos son diferentes a menos que se indique lo contrario.

I. Incidencia[editar]

I.1: Dos puntos diferentes A y B siempre determinan completamente una recta a. Escribimos AB = a o BA = a. En lugar de “determinan”, podemos emplear otras expresiones; por ejemplo, podemos dicer “A se encuentra sobre a”, “A es un punto de a“, “a pasa a través de A y de B”, ”a une A con B”, etc. Si A está sobre a y al mismo tiempo sobre otra recta b, también podemos usar la expresión: “Las rectas a y b tienen en común un punto A”, etc.

I.2: Dos puntos distintos cualesquiera de una recta determinan completamente esa recta; es decir, si AB = a y AC = a, siendo BC, entonces también se cumple BC = a.

I.3: Tres puntos A, B, C que no estén situados todos sobre una misma recta siempre determinan completamente un plano α. Escribimos ABC = α. También empleamos las expresiones: “A, B, C se encuentran en α”; “A, B, C son puntos de α”, etc.

I.4: Tres puntos cualesquiera A, B, C de un plano α, que no se encuentren sobre la misma recta, determinan completamente ese plano.

I.5: Si dos puntos A, B sobre una recta a se encuentran sobre un plano α, entonces todo punto de a se encuentra sobre α. En este caso decimos: “La recta a se encuentra sobre el plano α,” etc.

I.6: Si dos planos α, β tienen un punto A en común, entonces tienen al menos un segundo punto B en común.

I.7: Sobre cada recta existen al menos dos puntos; sobre cada plano, existen al menos tres puntos que no se encuentran sobre la misma recta; y en cada espacio existen al menos cuatro puntos que no están todos sobre el mismo plano.

II. Orden[editar]

II.1: Si un punto B se encuentra entre los puntos A y C, entonces B también está entre C y A, y existe una recta que contiene a los puntos A,B,C.

II.2: Si A y C son dos puntos de una recta, entonces existe al menos un tercer punto B que se encuentra entre A y C y al menos un punto D situado de tal manera que C se encuentra entre A y D.

II.3: De entre tres puntos cualesquiera situados sobre una recta, siempre uno de ellos (y sólo uno), se encuentra entre los otros dos.

II.4: Axioma de Pasch: sean A, B, C tres puntos que no se encuentran sobre la misma recta, y sea a una recta sobre el plano ABC y que no pasa a través de ninguno de los puntos A, B, C. Entonces, si la recta a pasa a través del segmento AB, también pasará a través de un punto del segmento BC o bien de un punto del segmento AC.

III. Paralelas[editar]

III.1: En un plano α se puede dibujar una y sólo una recta que pase a través de un punto A, que no esté sobre otra recta b y que no intersecte a esta última. Esta recta se denomina paralela a b a través del punto dado A.

IV. Congruencia[editar]

IV.1: Si A y B son dos puntos sobre una recta a y Aˡ es un punto sobre una recta aˡ (que puede ser la misma), entonces, a un lado de Aˡ sobre la recta aˡ, siempre podemos encontrar un punto (y sólo uno) Bˡ de manera que el segmento AB (o BA) sea congruente al segmento Aˡ Bˡ. Indicaremos esta relación escribiendo ABAˡ Bˡ. Cada segmento es congruente a sí mismo; es decir, siempre se cumple ABAB.

Podemos resumir el axioma anterior diciendo que cada segmento puede situarse sobre una línea recta, a un lado concreto de un punto, de una única manera.

IV.2: Si un segmento AB es congruente al segmento AˡBˡ y también al AˡˡBˡˡ, entonces el segmento AˡBˡ es congruente al segmento AˡˡBˡˡ; es decir, si ABAˡB y ABAˡˡBˡˡ, entonces AˡBˡ ≅ AˡˡBˡˡ

IV.3: Sean AB y BC dos segmentos de una recta que a que no tienen en común más puntos que B y, además, sean AˡBˡ y BˡCˡ dos segmentos sobre la recta aˡ (que puede coincidir con a) que, a su vez, no tengan en común otro punto más que Bˡ. Entonces, si ABAˡBˡ y BCBˡCˡ, entonces tenemos que ACAˡCˡ.

IV.4: Sean un ángulo (h, k) sobre un plano α y una recta aˡ sobre otro plano αˡ. Supongamos también que escogemos un semiplano concreto entre los dos definidos por aˡ sobre el αˡ. Indicamos con hˡ un rayo de la recta aˡ emanando desde un punto Oˡ de esta recta. Entonces, en el plano αˡ existe un (y sólo un) rayo kˡ tal que el ángulo (h, k) o (k, h) es congruente con un ángulo (hˡ, kˡ) cuyos puntos interiores están sobre el semiplano escogido. Expresamos esta relación mediante la notación ∠(h, k) ≅ (hˡ, kˡ)

Cada ángulo es congruente consigo mismo; es decir, ∠(h, k) ≅ (h, k)

o

∠(h, k) ≅ (k, h)

IV.5: Si el ángulo (h, k) es congruente con los ángulos (hˡ, kˡ) y (hˡˡ, kˡˡ), entonces el ángulo (hˡ, kˡ) es congruente con (hˡˡ, kˡˡ); es decir, si ∠(h, k) ≅ (hˡ, kˡ) y ∠(h, k) ≅ (hˡˡ, kˡˡ), entonces ∠(hˡ, kˡ) ≅ (hˡˡ, kˡˡ).

IV.6: Si las congruencias AB ≅ AˡBˡ, AC ≅ AˡCˡ, ∠BAC ≅ ∠BˡAˡCˡ se cumplen para los triángulos ABC y AˡBˡCˡ, entonces también se cumplen las congruencias ∠ABC ≅ ∠AˡBˡCˡ y ∠ACB ≅ ∠AˡCˡBˡ.

V. Continuidad[editar]

V.1: Axioma de Arquímedes. Sea A1 un punto cualquiera sobre una recta entre dos puntos arbitrarios A y B. Tómense los puntos A2, A3, A4, . . . de manera que A1 esté situado entre A y A2; A2 entre A1 y A3; A3 entre A2 y A4, etc. Además, sean los segmentos AA1, A1A2, A2A3, A3A4, . . . iguales entre sí. Entonces, entre esta serie de puntos, siempre existirá un cierto An tal que B se sitúa entre A y An.

V.2: Completitud de la recta. Es imposible, en un sistema de puntos, rectas y planos, añadir otros elementos al sistema generalizado de tal manera pueda formar una nueva geometría que obedezca al completo los cinco grupos de axiomas. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, si aceptamos como válidos los cinco grupos de axiomas.

Comentarios[editar]

El axioma de Hilbert descartado[editar]

Hilbert incluyó (en 1899) un axioma adicional que rezaba de esta manera:

II.4: Teorema de Pasch. Dados cuatro puntos sobre una recta, siempre se podrán denominar A, B, C, D de manera que B se sitúe entre A y C y también entre A y D y que, además, C se sitúe entre A y D y también entre B y D.

R. L. Moore probó en 1902 que este axioma es redundante.

Applicación[editar]

Esto axiomatiza la geometría sólida euclidiana. Eliminando los cuatro axiomas que mencionan el "plano" de manera esencial, es decir, los I.3-6, omitiendo la última afirmación de la I.7 y modificando III.1 de manera que no mencione planos, se obtiene una axiomatización de la geometría plana euclidiana.

Los axiomas de Hilbert no constituyen una teoría de primer orden porque los axiomas del grupo V no se pueden expresar mediante lógica de primer orden. Es por tanto que los axiomas de Hilbert, al contrario que los de Tarki, se apoyan de forma implícita en la teoría de conjuntos y por tanto no se puede probar que sean decidibles o completos.

El valor de los Grundlagen de Hilbert fue más metodológico que sustancial o pedagógico. Otras contribuciones importantes a la axiomatización de la geometría fueron las de Moritz Pasch, Mario Pieri, Oswald Veblen, Edward Vermilye Huntington, Gilbert Robinson y Henry George Forder. El valor de los Grundlagen se encuentra en su enfoque pionero a las cuestiones metamatemáticas, incluidos:

  • el uso de modelos para probar la independencia de axiomas; y
  • la necesidad de probar la consistencia y completitud de un sistema de axiomas.

La Matemática del siglo XX evolucionó hacia una red de sistemas formales axiomáticos. Esto se debió, en gran parte, a la influencia del ejemplo que Hilbert sentó con sus Grundlagen.

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]