Teorema de Routh

El teorema de Routh permite calcular el área del triángulo ΔGHI (en rojo), formado por las tres cevianas AD, BE y CF.

En geometría, el teorema de Routh​ determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por la intersección de tres cevianas (una por cada vértice).

Nomenclatura

Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianas AD, BE y CF.

Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).

$I=AD\cap CF,\quad G=AD\cap BE,\quad H=BE\cap CF$

Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:

${\overline {AF}}/{\overline {BF}}=r$

${\overline {BD}}/{\overline {CD}}=s$

${\overline {CE}}/{\overline {AE}}=t$

Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como A_ABC y A_IGH.

Enunciado del teorema

Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:

$A_{IGH}={\frac {(r\cdot s\cdot t-1)^{2}}{(s\cdot t+s+1)(r\cdot t+t+1)(r\cdot s+r+1)}}\;A_{ABC}.$

El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( r s t = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.

Véase también

• Teorema de Stewart
• Teorema de Ceva
• Teorema de Routh-Hurwitz
• Triángulo

Enlaces externos

• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.

Notas y referencias

• Murray S. Klamkin and A. Liu, Three more proofs of Routh's theorem, Crux Mathematicorum 7 (1981) 199–203
• H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd edition, Wiley, New York, 1969
• J. S. Kline and D. Velleman, Yet another proof of Routh's theorem, Crux Mathematicorum 21 (1995) 37–40
• Weisstein, Eric W. «Routh's Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1789863