Unidades de Planck

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Las unidades de Planck o unidades naturales son un sistema de unidades propuesto por primera vez en 1899 por Max Planck. El sistema mide varias de las magnitudes fundamentales del universo: tiempo, longitud, masa, carga eléctrica y temperatura. El sistema se define haciendo que estas cinco constantes físicas universales de la tabla tomen el valor 1 cuando se expresen ecuaciones y cálculos en dicho sistema.

El uso de este sistema de unidades trae consigo varias ventajas. La primera y más obvia es que simplifica mucho la estructura de las ecuaciones físicas porque elimina las constantes de proporcionalidad y hace que los resultados de las ecuaciones no dependan del valor de las constantes.

Por otra parte, se pueden comparar mucho más fácilmente las magnitudes de distintas unidades. Por ejemplo, dos protones se rechazan porque la repulsión electromagnética es mucho más fuerte que la atracción gravitatoria entre ellos. Esto se puede comprobar al ver que los protones tienen una carga aproximadamente igual a una unidad natural de carga, pero su masa es mucho menor que la unidad natural de masa.

También permite evitar bastantes problemas de redondeo, sobre todo en computación. Sin embargo, tienen el inconveniente de que al usarlas es más difícil percatarse de los errores dimensionales. Son populares en el área de investigación de la relatividad general y la gravedad cuántica.

Las unidades Planck suelen llamarse (en broma) por los físicos como las "unidades de Dios". Esto elimina cualquier arbitrariedad antropocéntrica del sistema de unidades.

Contenido

1 Expresión de leyes físicas en unidades Planck
2 Unidades Planck básicas
3 Unidades Planck derivadas
4 Véase también

Constante	Símbolo	Dimensión
velocidad de la luz en el vacío	${ c } \$	L / T
Constante de gravitación	${ G } \$	L³/T²M
Constante reducida de Planck	$\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ donde ${h} \$ es la constante de Planck	ML²/T
Constante de fuerza de Coulomb	$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ donde ${ \epsilon_0 } \$ es la permitividad en el vacío	M L³/ Q² T²
Constante de Boltzmann	${ k } \$	M L³/T²K

[editar] Expresión de leyes físicas en unidades Planck

Ley de la gravitación universal de Newton

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

se convierte en

$F = \frac{m_1 m_2}{r^2}$ utilizando unidades Planck.

ecuación de Schrödinger

$- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$

se convierte en

$- \frac{1}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}, t) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}, t) = i \frac{\partial \psi}{\partial t} (\mathbf{r}, t)$

La energía de una partícula o fotón con frecuencia radián ${ \omega } \$ en su función de onda

${ E = \hbar \omega} \$

se convierte en

${ E = \omega } \$

La famosa ecuación de masa-energía de Einstein

${ E = m c^2} \$

se convierte en

${ E = m } \$

(por ejemplo, un cuerpo con una masa de 5.000 unidades Planck de masa tiene una energía intrínseca de 5.000 unidades Planck de energía) y su forma completa

${ E^2 = (m c^2)^2 + (p c)^2} \$

se convierte en

${ E^2 = m^2 + p^2} \$

ecuación de campo de Einstein de la relatividad general

${ G_{\mu \nu} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\mu \nu}} \$

se convierte en

${ G_{\mu \nu} = 8 \pi T_{\mu \nu} } \$

La unidad de temperatura se define para que el promedio de energía térmica cinética por partícula por grado de libertad de movimiento

${ E = \frac{1}{2} k T } \$

se convierte en

${ E = \frac{1}{2} T } \$

Ley de Coulomb

$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

se convierte en

$F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ .

Ecuaciones de Maxwell

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

se convierten respectivamente en

$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho$

$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}$

$\nabla \times \mathbf{B} = 4 \pi \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t}$

utilizando las unidades Planck. (Los factores $4 \pi \$ se pueden eliminar si $\epsilon_0 \$ se hubiera normalizado, en vez de la constante de fuerza de Coulomb $1/(4 \pi \epsilon_0) \$ .)

[editar] Unidades Planck básicas

Al dar valor 1 a las cinco constantes fundamentales, las unidades de tiempo, longitud, masa, carga y temperatura se definen así:

Nombre	Dimensión	Expresión	Equivalencia aproximada en el Sistema Internacional
Tiempo Planck	Tiempo (T)	$t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^5}}$	5.39121 × 10^-44 s
Longitud Planck	Longitud (L)	$l_P = c \ t_P = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}$	1.61624 × 10^-35 m
Masa Planck	Masa (M)	$m_P = \sqrt{\frac{\hbar c}{G}}$	2.17645 × 10^-8 kg
Carga Planck	Carga eléctrica (Q)	$q_P = \sqrt{\hbar c 4 \pi \epsilon_0}$	1.8755459 × 10^-18 C
Temperatura Planck	Temperatura (ML²T^-2/k)	$T_P = \frac{m_P c^2} {k} = \sqrt{\frac{\hbar c^5} {G k^2}}$	1.41679 × 10³² K

[editar] Unidades Planck derivadas

Como en otros sistemas de unidades, las magnitudes físicas derivadas se pueden definir basándose en las Unidades Planck.

Nombre	Dimensión	Expresión	Equivalencia aproximada en el Sistema Internacional
Energía Planck	Energía (ML²/T²)	$E_P = m_P c^2 = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}$	1.9561 × 10⁹ J
Fuerza Planck	Fuerza (ML/T²)	$F_P = \frac{E_P}{l_P} = \frac{c^4}{G}$	1.21027 × 10⁴⁴ N
Potencia Planck	Potencia (ML²/T³)	$P_P = \frac{E_P}{t_P} = \frac{c^5}{G}$	3.62831 × 10⁵² W
Densidad Planck	Densidad (M/L³)	$\rho_P = \frac{m_P}{l_P^3} = \frac{c^5}{\hbar G^2}$	5.15500 × 10⁹⁶ kg/m³
Velocidad angular Planck	Velocidad angular (1/T)	$\omega_P = \frac{1}{t_P} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}$	1.85487 × 10⁴³ rad/s
Presión Planck	Presión (M/LT²)	$p_P = \frac{F_P}{l_P^2} =\frac{c^7}{\hbar G^2}$	4.63309 × 10¹¹³ Pa
Intensidad eléctrica Planck	Intensidad eléctrica (Q/T)	$I_P = \frac{q_P}{t_P} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \epsilon_0}{G}}$	3.4789 × 10²⁵ A
Tensión eléctrica Planck	Tensión eléctrica (ML²/T²Q)	$V_P = \frac{E_P}{q_P} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \epsilon_0} }$	1.04295 × 10²⁷ V
Resistencia eléctrica Planck	Resistencia (ML²/T Q²)	$Z_P = \frac{V_P}{I_P} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}$	2.99792458 × 10¹ Ω