Triángulo de Reuleaux

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El triángulo de Reuleaux, en cualquier orientación, siempre es tangente a un cuadrado.

El triángulo Reuleaux es el ejemplo más sencillo de los llamados polígonos de Reuleaux, denominados así por el científico e ingeniero que los desarrolló, Franz Reuleaux. Estos polígonos tienen la particularidad de ser curvas de anchura constante, es decir, que la distancia entre dos rectas tangentes paralelas opuestas es la misma, independientemente de la dirección de esas rectas. Esto puede apreciarse en la figura adjunta, en la que siempre hay cuatro puntos de tangencia con el cuadrado, uno en cada lado.

El área del triángulo de Reuleaux es {1\over2}(\pi - \sqrt3)a^2 = 0,70477...\ a^2 , donde a es la anchura constante. El área de un círculo de igual diámetro es {\pi \over 4} a^2 = 0,78539...\ a^2 , que es mayor. Más aún, el teorema de Blaschke-Lebesgue establece que el triángulo de Reuleaux tiene menor superficie que cualquier otra figura de igual anchura constante.

Su perímetro es \pi a (véase la explicación en la sección siguiente).

El triángulo de Reuleaux puede generalizarse a otros polígonos regulares con un número impar de lados, como puede ser el caso de las monedas británicas de 20 peniques (basadas en un heptágono).

El triángulo de Reuleaux es una curva de anchura constante basada en un triángulo equilátero. La distancia entre cualquier punto de una de las curvas y el vértice opuesto es la misma.

Trazado del triángulo de Reuleaux[editar]

Partiendo de un triángulo equilátero de lado a delíniese, haciendo centro en uno de los vértices del triángulo y con radio a, un arco de circunferencias que una entre sí a los dos vértices restantes, repítase la operación para cada vértice y ya se habrá obtenido el triángulo de Reuleaux buscado. Borrando el triángulo inicial, el espacio central que delimitan en común las tres cirunferencias es el triángulo de Reuleaux, una curva de anchura constante.

Cada uno de los ángulos de un triángulo equilátero es de {\pi \over 3} radianes. Cada uno de los tres arcos es de longitud {\pi \over 3} a. Por tanto el perímetro del triángulo de Reuleaux es \pi a.

Otros usos[editar]

Broca de Harry Watt, basada en el triángulo de Reuleaux.
  • Debido a que todos sus diámetros tienen la misma longitud, el triángulo Reuleaux, junto con los demás polígonos regulares de Reuleaux, es la respuesta a la pregunta "Además de un círculo, ¿qué otra forma puede tener una tapa de alcantarilla para que no caiga a través del agujero?"
  • El rotor de un Motor Wankel puede fácilmente ser confundido con un triángulo de Reuleaux. Aunque se parece mucho en su aspecto, el rotor Wankel tiene entre vértices una curva algo más plana que la del triángulo de Reuleux y por ello no tiene ancho constante.[1]
  • En 1914 el ingeniero británico Harry James Watt patentó (US-Patent 1241175 y siguientes) una broca (llamada de Harry Watt en los países de habla inglesa) con forma de triángulo de Reuleaux. Esta broca va montada en un dispositivo especial que hace que gire un tanto excéntricamente y así puede taladrar un agujero con una forma casi exactamente cuadrada. En la figura se puede ver la rotación de esta broca dentro de un agujero cuadrado. Se ve que solo en las esquinas dicha broca deja cuatro pequeñas áreas sin cubrir, que suman un 1,33% del área del cuadrado.
Rodillos con sección circular y de triángulo de Reuleaux. Deutsche Technikmuseum, Berlín.
  • Un triángulo de Reuleaux puede rodar fácilmente, pero no funciona bien como rueda debido a que no tiene un centro fijo de rotación. Sin embargo, en la figura adjunta la tabla puede hacerse avanzar de manera perfctamente horizontal. En el rodillo de la izquierda habrá un eje que solo se desplace horizontalmente, mientras que en la sección del rodillo de la derecha, que es un triángulo de Reuleux, todos los puntos tienen algo de movimiento vertical, como se aprecia en la animación de la broca de Harry Watt.
  • La existencia de los polígonos de Reuleaux es una buena demostración de que el que una figura tenga anchura constante no implica que sea un círculo.
  • Muchos lápices son fabricados con este perfil, en lugar de los mucho más tradicionales de sección redonda o hexagonal.[2] Por lo general son promocionados como más cómodos y producen un agarre adecuado, además de ser menos probable que rueden fuera las mesas.

Versión en tres dimensiones[editar]

La intersección de esferas de radio s centradas en los vértices de tetraedros regulares con lado también s es denominado el tetraedro Reuleaux, pero en este caso no es una superficie de anchura constante. Puede, sin embargo, ser realizada dentro de una superficie de anchura constante, conocida como el tetraedro Meissner, reemplazando sus límites en forma de arco por "parches" de superficie curvada. Alternativamente, la superficie de un triángulo de Reuleaux en revolución sobre uno de sus ejes simétricos forma una superficie de anchura constante.

Notas y referencias[editar]

  1. Ein Wankel-Rotor ist kein Reuleux-Dreieck! (alemán) ¡El rotor Wankel no es un triángulo de Reuleux!.
  2. [1]

Véase también[editar]