Topología euclidiana

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En matemática, y especialmente en topología general, la topología euclidiana o topología euclídea es un ejemplo de topología dado por el conjunto de los números reales, denotados mediante R. Dado el conjunto R una topología significa decir que los subconjuntos de R son «abiertos», y hacerlo de tal manera que los siguientes axiomas se cumplan:[1]

  1. La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
  2. La intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
  3. El conjunto R y el conjunto vacío ∅ son conjuntos abiertos.

Construcción[editar]

Se requiere que el conjunto R y el conjunto vacío ∅ sean conjuntos abiertos, así que se definirá R y ∅ como conjuntos abiertos en esta topología. Dados dos números reales, por ejemplo x e y, con x < y se difine una familia incontable infinita de conjuntos abiertos denotados mediante Sx,y como sigue:[1]

 S_{x,y} = \{ r \in \bold{R} : x < r < y \} .

Junto con el conjunto R y el conjunto vacío ∅, los conjuntos Sx,y con x < y son usados como base para la topología euclidiana. En otras palabras, los conjuntos abiertos de la topología euclidiana son dados por el conjunto R, el conjunto vacío ∅ y las uniones e intersecciones finitas de varios conjuntos Sx,y para los diferentes pares (x,y).

Propiedades[editar]

  • La línea real, con su topología, es un espacio T5. Dados dos subconjuntos, digamos A y B, de R con AB = AB = ∅, donde A denota la clausura de A, etc., existen conjuntos abiertos SA y SB con ASA y BSB tales que SASB = ∅.[1]

Referencias[editar]

  1. a b c Steen, L. A.; Seebach, J. A. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 048668735X