Topología del límite inferior

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En matemáticas, la topología del límite inferior, llamada también en ocasiones topología de Sorgenfrey es una topología definida sobre la recta real. Al espacio topológico resultante, denotado por \mathbb{R}_\ell, se lo conoce por Recta de Sorgenfrey. Esta topología es distinta de la topología usual, y está generada por la base \beta = \{[a,b)\ :\ a < b\} donde a, b son números reales.

La Recta de Sorgenfrey, así como su producto \mathbb{R}_\ell \times \mathbb{R}_\ell, el Plano de Sorgenfrey, son una fuente de contraejemplos muy utilizados en topología. Ambos espacios deben su nombre a Robert Sorgenfrey.

Propiedades[editar]

  • La topología del límite inferior es una topología estrictamente más fina que la topología usual, esto es, todo abierto en \mathbb{R} con la topología usual es abierto en \mathbb{R}_\ell, puesto que podemos escribir un abierto (a,b) de la base de la topología usual como (a,b) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} [a+{1 \over n},b), unión de abiertos de la base de \mathbb{R}_\ell. Sin embargo, los propios abiertos de la base de \mathbb{R}_\ell no son abiertos en la topología usual.
  • Cualquier intervalo de la forma [a,b) en la recta de Sorgenfrey es, al mismo tiempo, abierto y cerrado.
  • \mathbb{R}_\ell es un espacio totalmente disconexo, lo que quiere decir que la componente conexa de cada punto es él mismo.
  • En términos de axiomas de numerabilidad, es ANI y separable, pero no es ANII.
  • En términos de compacidad, es Lindelöf (cada recubrimiento abierto admite subrecubrimiento numerable) y paracompacto, pero no es σ-compacto ni localmente compacto.
  • \mathbb{R}_\ell no es metrizable dado que los espacios metrizables y separables son ANII. Sin embargo, la topología en la Recta de Sorgenfrey está generada por una premétrica.

Bibliografía[editar]

  • Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2ª ed. (29 de diciembre 1999). ISBN 0-13-181629-2

Referencias[editar]