Teorema del valor medio de Cauchy

En análisis matemático, y más concretamente en cálculo diferencial, el teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor medio (de Lagrange). A partir del mismo puede demostrarse la regla de L'Hôpital, fuerte ayuda para el cálculo de límites con indeterminaciones $\textstyle \frac{0}{0}$ ó $\textstyle \frac{\infty}{\infty}$.

Enunciado

El teorema se enuncia de la siguiente manera:

Sean $f$ y $g$ continuas en $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$. Entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que: $(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,$ En el caso de que g(a) ≠ g(b) y además g′(c) ≠ 0, entonces podemos escribir: $\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot$ Augustin Louis Cauchy

Nótese el caso particular en el cual g(x)=x, donde entonces la expresión se reduce al teorema del valor medio de Lagrange.

Demostración

• Sea G(x) una función definida como:

$G(x) = [g(b)-g(a)] \cdot [f(x)-f(a)] - [f(b)-f(a)] \cdot [g(x)-g(a)] \,\!$

donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a,b], derivables en (a,b). Se puede observar por simple inspección que G(a)=0 y G(b)=0.

• Por el Teorema de Rolle, existe un c, perteneciente al intervalo (a,b), tal que G'(c)=0. Así, derivando G(x) se obtiene:

$G'(x) = [g(b)-g(a)]\cdot f'(x)-[f(b)-f(a)] \cdot g'(x)$

y sabiendo que G'(c) es 0

$0 = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)-[f(b)-f(a)]\cdot g'(c)$

de donde se deduce que

$[f(b)-f(a)]\cdot g'(c) = [g(b)-g(a)] \cdot f'(c)$

• Si g(b)-g(a) y g'(c) son distintos de 0, la expresión anterior puede ser escrita como:

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

Q.E.D.

Consecuencias

El teorema de Cauchy es usado para la demostración de otros teoremas. Nos permite, entre otros, demostrar la regla de L'Hôpital:

$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

muy usada en análisis matemático, para el cálculo de límites de la forma de $\textstyle \frac{0}{0}$ ó $\textstyle \frac{\infty}{\infty}$.

Referencias

• Trott, Michael. «Mean Value Theorem» (en inglés). The Wolfram Demonstrations Project. Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Weisstein, Eric W. «Teorema del valor medio de Cauchy» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.